Распределение Ферми-Дирака

Распределение Ферми–Дирака описывает статистическое поведение фермионов — частиц, подчиняющихся принципу запрета Паули, таких как электроны, протоны и нейтроны. Оно определяет вероятность f(E) нахождения фермиона на энергетическом уровне E при заданной температуре T.

$$ f(E) = \frac{1}{\exp\left(\frac{E - \mu}{k_B T}\right) + 1} $$

Здесь:

  • E — энергия состояния частицы,
  • μ — химический потенциал (для электронов при T = 0 он равен энергии Ферми EF),
  • kB — постоянная Больцмана,
  • T — абсолютная температура.

Ключевой момент: при T = 0 все состояния с E < EF полностью заполнены (f(E) = 1), а с E > EF — пусты (f(E) = 0).

Температурная зависимость

При увеличении температуры T > 0 распределение плавно «размазывается» около энергии Ферми. Вероятность заполнения уровня меньше 1 для E < EF и больше 0 для E > EF.

Графически f(E) представляет собой сигмоидальный график, который становится все более пологим при увеличении температуры.

Физический смысл: это отражает тепловое возбуждение электронов — часть электронов получает энергию, достаточную для перехода на более высокие уровни, оставляя «дырки» в нижних состояниях.

Плотность состояний и распределение Ферми–Дирака

Для практического применения необходимо учитывать плотность электронных состояний g(E), определяющую число доступных квантовых состояний на единицу энергии. Тогда число электронов с энергией между E и E + dE равно:

dn = g(E)f(E)dE

Интегрирование по всему диапазону энергий дает полное число электронов:

N = ∫0∞g(E)f(E) dE

Ключевой момент: распределение Ферми–Дирака учитывает не только энергетическое заполнение уровней, но и доступность этих уровней.

Энергия Ферми и химический потенциал

Энергия Ферми EF — это уровень энергии при абсолютном нуле, который разделяет заполненные и пустые состояния. Она определяется через концентрацию электронов n и плотность состояний:

n = ∫0EFg(E) dE

При T > 0 химический потенциал μ(T) слегка уменьшается с ростом температуры, чтобы сохранять фиксированное число частиц.

Пример для свободного электронного газа в трехмерном кристалле:

$$ g(E) = \frac{V}{2\pi^2} \left( \frac{2m}{\hbar^2} \right)^{3/2} E^{1/2} $$

Тогда энергия Ферми:

$$ E_F = \frac{\hbar^2}{2m} \left( 3\pi^2 \frac{N}{V} \right)^{2/3} $$

Тепловые свойства электронного газа

Энергия электронов при T > 0 вычисляется через интеграл:

U = ∫0∞E g(E)f(E) dE

При низких температурах T ≪ TF (температура Ферми) энергия имеет поправку, пропорциональную T2:

$$ U(T) \approx U(0) + \frac{\pi^2}{6} g(E_F) (k_B T)^2 $$

Следствие: теплоемкость электронов при низких температурах линейна по температуре:

$$ C_e = \frac{\partial U}{\partial T} \sim T $$

Влияние на проводимость металлов

Распределение Ферми–Дирака объясняет, почему только электроны около энергии Ферми участвуют в электрическом токе. Электроны далеко ниже EF полностью заполнены и не могут переносить заряд, а уровни выше EF почти пусты.

Ключевой момент: это фундаментальный принцип, лежащий в основе теории проводимости металлов и полупроводников.

Модели приближения

  1. Приближение низких температур (T ≪ TF) — использование разложения Ферми–Дирака для вычисления малых тепловых поправок.
  2. Приближение высоких температур (T ≫ TF) — переход к классическому распределению Максвелла–Больцмана, так как f(E) ≪ 1.

Резюме ключевых аспектов распределения Ферми–Дирака

  • Определяет вероятность заполнения квантового уровня фермиона.
  • При T = 0 электроны полностью заполняют состояния до EF.
  • При T > 0 распределение размывается вокруг EF.
  • Учитывает плотность состояний g(E) для реальных материалов.
  • Объясняет низкотемпературные тепловые и электрические свойства металлов и полупроводников.
  • Является основой для расчета энергии, теплоемкости, проводимости и других физических характеристик электронного газа.
Оглавление