Упругость и модули упругости

Упругость — это свойство материалов сопротивляться деформации под действием внешних сил и возвращаться в исходное состояние после прекращения действия этих сил. Этот феномен лежит в основе механического поведения твердых тел и играет ключевую роль при проектировании конструкций, расчетах прочности и исследовании свойств материалов.

Деформация, возникающая при приложении силы, может быть упругой или пластической. Упругая деформация обратима, пластическая — приводит к необратимым изменениям формы и размеров. Для большинства инженерных материалов упругая область ограничена так называемой пределом упругости, после которого начинается пластическое течение.

Напряжение и деформация

Напряжение σ определяется как сила, действующая на единицу площади сечения:

$$ \sigma = \frac{F}{A} $$

где F — приложенная сила, A — площадь поперечного сечения образца. Единица измерения в системе СИ — Паскаль (Па), 1 Па = 1 Н/м².

Относительная деформация (strain) ε характеризует относительное изменение длины:

$$ \varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0} $$

где ΔL — изменение длины, L0 — исходная длина.

Для малых деформаций связь между напряжением и деформацией в линейно-упругих материалах описывается законом Гука:

σ = E ⋅ ε

где E — модуль Юнга, характеризующий жесткость материала при растяжении или сжатии.

Модули упругости

Модули упругости — это основные характеристики материала, определяющие его сопротивление различным видам деформации. Основные из них:

1. Модуль Юнга E

Модуль Юнга описывает напряжение при продольной деформации (растяжение или сжатие):

$$ E = \frac{\sigma}{\varepsilon} $$

Характеризует способность материала сопротивляться изменению длины при растяжении или сжатии. Чем выше E, тем более жесткий материал.

2. Модуль сдвига G

Модуль сдвига (или модуль Кирхгофа) определяет сопротивление материала сдвиговой деформации. Сдвиговая деформация возникает, когда параллельные слои материала смещаются относительно друг друга:

τ = G ⋅ γ

где τ — сдвиговое напряжение, γ — угловая деформация (тангенс угла сдвига).

Модуль сдвига особенно важен при расчетах элементов, работающих на кручение или сдвиг, например, валов и болтов.

3. Объемный модуль K

Объемный модуль характеризует сопротивление материала объемной деформации, то есть изменения объема под действием гидростатического давления:

$$ K = -V \frac{dP}{dV} $$

где V — объем тела, P — давление. Объемный модуль важен для жидкостей и сжимаемых твердых тел.

4. Коэффициент Пуассона ν

Коэффициент Пуассона описывает отношение поперечной деформации к продольной при растяжении или сжатии:

$$ \nu = -\frac{\varepsilon_\text{поперечная}}{\varepsilon_\text{продольная}} $$

Для большинства металлов ν ≈ 0, 3. Он связывает модуль Юнга и модуль сдвига через соотношение:

$$ G = \frac{E}{2(1+\nu)} $$

Типы деформаций

  1. Продольная деформация — изменение длины тела вдоль направления приложенной силы.
  2. Сдвиговая деформация — смещение параллельных слоев материала.
  3. Объемная деформация — изменение объема под действием давления.

Каждый тип деформации характеризуется соответствующим модулем упругости.

Закон Гука для различных деформаций

Для линейно-упругих материалов справедливы следующие зависимости:

  • Продольное растяжение/сжатие:

σ = Eε

  • Сдвиг:

τ = Gγ

  • Объемное сжатие:

$$ \Delta P = K \frac{\Delta V}{V} $$

Эти формулы применимы в области малых деформаций, где материал сохраняет линейно-упругие свойства.

Анизотропия и изотропия

Материалы могут быть изотропными или анизотропными:

  • Изотропные материалы обладают одинаковыми упругими свойствами во всех направлениях (например, сталь, стекло).
  • Анизотропные материалы (например, древесина, кристаллы) имеют различную жесткость вдоль различных осей, и для их описания необходимо использовать тензор упругих модулей.

В случае анизотропии напряжение и деформация связаны через тензор упругих постоянных:

σij = Cijklεkl

где Cijkl — компоненты тензора жесткости.

Практическое значение модулей упругости

  • Модуль Юнга используется при расчете балок, колонн, стержней на растяжение/сжатие.
  • Модуль сдвига важен для валов, соединений на сдвиг, болтов, шпонок.
  • Объемный модуль применяется в гидродинамике, геофизике и расчетах давления в жидкостях.
  • Коэффициент Пуассона позволяет оценить боковые деформации и взаимодействие компонентов конструкции.
Оглавление