Броуновская динамика

Броуновская динамика описывает хаотическое движение частиц микронного и субмикронного размера, находящихся в жидкости или газе, которое возникает вследствие непрерывных столкновений с молекулами среды. Это движение впервые было наблюдено в начале XIX века Р. Броуном при изучении пыльцы в воде, и в дальнейшем получило строгое теоретическое объяснение в рамках статистической физики. В мягкой материи броуновская динамика играет ключевую роль, поскольку большинство объектов — коллоидные частицы, полимерные сегменты, жидкокристаллические домены — находятся в состоянии сильного взаимодействия с тепловыми флуктуациями.

Уравнение Ланжевена

Для количественного описания броуновского движения используется стохастическое уравнение Ланжевена. Пусть частица массой m движется в вязкой жидкости. Тогда её динамика задается выражением

$$ m \frac{d^2 x(t)}{dt^2} = - \gamma \frac{dx(t)}{dt} + \xi(t), $$

где

  • γ — коэффициент вязкого трения,
  • ξ(t) — случайная сила, моделирующая тепловые удары молекул.

Случайная сила рассматривается как гауссовский белый шум с нулевым средним и корреляцией

⟨ξ(t)⟩ = 0,   ⟨ξ(t)ξ(t′)⟩ = 2kBTγ δ(t − t′),

где kB — постоянная Больцмана, T — температура. Эти условия отражают флуктуационно-диссипативную теорему, связывающую случайные возмущения с диссипативными процессами.

В большинстве задач по мягкой материи инерционные члены пренебрежимо малы (из-за малой массы и сильного демпфирования), и уравнение принимает форму

$$ \gamma \frac{dx(t)}{dt} = \xi(t). $$

Такой режим называется овердампированным.

Уравнение Эйнштейна и коэффициент диффузии

Из уравнения Ланжевена можно получить фундаментальный результат Эйнштейна о связи коэффициента диффузии с вязкостью среды:

$$ D = \frac{k_B T}{\gamma}. $$

Коэффициент D определяет среднеквадратичное смещение частицы:

⟨[x(t) − x(0)]2⟩ = 2Dt.

Этот линейный рост дисперсии во времени является одним из главных признаков броуновского движения.

Уравнение Фоккера–Планка

Эквивалентным подходом к описанию броуновской динамики является уравнение Фоккера–Планка для функции распределения вероятности P(x, t). Для одномерного движения оно имеет вид:

$$ \frac{\partial P(x,t)}{\partial t} = D \frac{\partial^2 P(x,t)}{\partial x^2}. $$

Решение для начального условия P(x, 0) = δ(x) есть гауссовское распределение

$$ P(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi D t}} \exp\!\left(-\frac{x^2}{4Dt}\right). $$

Таким образом, эволюция вероятностного распределения броуновской частицы подчиняется уравнениям диффузионного типа.

Броуновская динамика в ограниченных геометриях

В системах мягкой материи частицы редко движутся в неограниченной среде. Часто встречаются геометрические ограничения: узкие каналы, пористые материалы, мембраны, сетки полимеров. В таких условиях броуновское движение становится анизотропным и проявляет новые закономерности.

  • Субдиффузия возникает, когда частица испытывает многократные «ловушки» в сложном ландшафте потенциала. Для нее характерна зависимость вида

    ⟨[x(t) − x(0)]2⟩ ∼ tα,  0 < α < 1.

  • Супердиффузия появляется в системах с гидродинамическими корреляциями или активными возмущениями, где

    ⟨[x(t) − x(0)]2⟩ ∼ tα,  α > 1.

Гидродинамические взаимодействия

В коллоидных суспензиях движение одной частицы порождает возмущения в потоке жидкости, которые влияют на соседние частицы. Это приводит к коррелированной броуновской динамике. Математически такие эффекты учитываются введением тензора гидродинамических взаимодействий (например, тензора Ротне–Прагер–Йамамото).

Эти корреляции особенно важны в плотных суспензиях, где обычное представление о независимом броуновском движении перестает быть применимым.

Активная броуновская динамика

В отличие от пассивных частиц, подчиняющихся исключительно тепловым флуктуациям, активные частицы (например, синтетические микромоторы или живые микроорганизмы) обладают собственным источником энергии. Их движение описывается модифицированным уравнением Ланжевена с дополнительным «самоходным» членом скорости:

$$ \gamma \frac{dx(t)}{dt} = \xi(t) + F_{\text{act}}. $$

Такое движение приводит к появлению нетривиальных эффектов: накоплению частиц у стенок, формированию ройных структур, фазовым переходам в активной материи.

Численное моделирование броуновской динамики

Для исследования сложных систем мягкой материи широко применяется метод броуновской динамики — численная симуляция траекторий частиц с использованием стохастических уравнений движения. Основные особенности метода:

  • переход к дискретному времени с шагом Δt,
  • генерация случайных сил с заданной дисперсией,
  • учет межчастичных и внешних потенциалов,
  • возможность включения гидродинамических и электростатических взаимодействий.

Такой подход позволяет моделировать структуру и динамику коллоидных кристаллов, самоорганизацию полимеров, поведение жидких кристаллов и активных суспензий.

Экспериментальные методы исследования

Броуновская динамика наблюдается с использованием современных оптических и микроскопических методов:

  • динамическое рассеяние света (DLS) для изучения временных корреляций,
  • флуоресцентная корреляционная спектроскопия (FCS), позволяющая измерять коэффициенты диффузии отдельных молекул,
  • видеомикроскопия с трекингом частиц, дающая прямые траектории,
  • оптические пинцеты, позволяющие управлять и регистрировать движение микрочастиц под действием внешних сил.

Эти методы обеспечивают количественную верификацию теоретических моделей и дают возможность исследовать динамику в реальных системах мягкой материи.

Оглавление