Броуновская динамика

Броуновская динамика (БД) — это раздел статистической механики, посвящённый изучению движения частиц в вязкой среде, подверженных случайным термальным флуктуациям. Этот подход особенно важен для описания мягкой материи: коллоидов, полимеров, биомакромолекул, микрочастиц в жидкости. В отличие от молекулярной динамики, броуновская динамика предполагает, что массы частиц малы, а столкновения с молекулами среды быстро приводят к диссипации энергии, что позволяет описывать движение с использованием стохастических уравнений.

Уравнение Ланжевена

Основным инструментом БД является уравнение Ланжевена, которое описывает эволюцию скорости и позиции частицы в жидкости:

$$ m \frac{d\mathbf{v}}{dt} = -\gamma \mathbf{v} + \mathbf{F}_\text{ext} + \mathbf{R}(t) $$

где:

• m — масса частицы,
• v — её скорость,
• γ — коэффициент вязкого трения,
• F_ext — внешние силы (например, электростатические или упругие),
• R(t) — случайная сила, моделирующая термальные флуктуации среды.

Случайная сила R(t) обладает нулевым средним и δ-коррелированной дисперсией:

⟨R(t)⟩ = 0,  ⟨R_i(t)R_j(t′)⟩ = 2k_BTγδ_ijδ(t − t′)

где k_B — постоянная Больцмана, T — температура среды.

Для частиц с малыми массами (m → 0) часто используют сверхпороговую аппроксимацию, при которой инерционные эффекты пренебрегаются. Тогда уравнение Ланжевена упрощается до стохастического дифференциального уравнения первого порядка:

$$ \gamma \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \mathbf{F}_\text{ext} + \mathbf{R}(t) $$

Математическое описание

Для численного моделирования БД обычно используют дискретизацию во времени с шагом Δt. Положение частицы обновляется по формуле:

$$ \mathbf{r}(t + \Delta t) = \mathbf{r}(t) + \frac{\mathbf{F}_\text{ext}(t)}{\gamma} \Delta t + \sqrt{\frac{2 k_B T \Delta t}{\gamma}} \boldsymbol{\eta}(t) $$

где η(t) — вектор независимых случайных чисел с нормальным распределением ????(0, 1).

Ключевой момент: корректный выбор времени дискретизации Δt критичен. Он должен быть достаточно мал, чтобы адекватно описывать динамику, но достаточно велик, чтобы численное моделирование было эффективным.

Применение к коллоидным системам

В коллоидных системах частицы имеют радиус от десятков нанометров до нескольких микрометров, и броуновское движение доминирует над инерционной динамикой. Основные наблюдаемые эффекты:

• Диффузия частиц: для изолированной частицы без внешних сил среднее квадратичное смещение (MSD) растёт линейно со временем:

⟨(Δr(t))²⟩ = 6Dt

где D = k_BT/γ — коэффициент диффузии.

• Влияние вязкости среды: чем выше γ, тем медленнее диффузия.
• Внешние поля и взаимодействия: электрические, магнитные, упругие силы могут направлять движение частиц, создавая структурированные фазы.

Броуновская динамика полимеров и биомолекул

Для макромолекул, таких как полимеры или белки, частица моделируется как цепочка связанных сегментов. Уравнения Ланжевена применяются к каждому сегменту с учётом межсегментных взаимодействий:

$$ \gamma_i \frac{d \mathbf{r}_i}{dt} = -\sum_j \frac{\partial U}{\partial \mathbf{r}_i} + \mathbf{R}_i(t) $$

где U — потенциальная энергия, включающая упругость связей и исключение объёма. Особенности моделирования:

• Используются алгоритмы ограничения длины связей (например, SHAKE или RATTLE).
• Время интегрирования выбирается исходя из локальной динамики сегментов.
• Позволяет изучать динамику свёртывания белков, диффузию в сетчатых средах, кинетику агрегации.

Численные методы

Для решения стохастических уравнений применяются методы типа Эйлера–Маруйама и более точные схемы, учитывающие корреляцию случайных сил. Особенности численного моделирования:

1. Генерация корректного шума — нормально распределённого с дисперсией 2k_BTγΔt.
2. Учет границ и взаимодействий — отражающие или периодические границы.
3. Сохранение статистики системы — проверка соответствия теоретическим законам диффузии и распределения Больцмана.

Основные наблюдаемые явления

• Дифузия и аномальная диффузия — линейная или нелинейная зависимость MSD от времени.
• Структурирование коллоидов — образование кристаллических и стекловидных состояний.
• Агрегация и коагуляция — взаимодействие частиц через потенциалы ван-дер-Ваальса или дипольные силы.
• Флуктуации и релаксация — время релаксации системы связано с коэффициентами диффузии и вязкости среды.

Практическое значение

Броуновская динамика позволяет:

• Моделировать свойства коллоидных растворов, суспензий и гелей.
• Исследовать динамику полимерных цепей, белков и нуклеиновых кислот.
• Предсказывать кинетику агрегации и структурообразования в мягкой материи.
• Оптимизировать наноматериалы и биомолекулярные системы для технологических и медицинских приложений.

БД является фундаментальным инструментом современной физики мягкой материи, обеспечивая мост между микроскопической динамикой частиц и макроскопическими наблюдаемыми свойствами систем.