Диссипативная динамика частиц

Диссипативная динамика частиц является ключевым направлением в физике мягкой материи, поскольку она описывает поведение систем, где кинетическая энергия частиц постепенно преобразуется в тепло за счет вязких и фрикционных процессов. Такие системы включают коллоидные растворы, суспензии полимеров, микрогели, биологические мембраны и активные вещества.

В основе диссипативной динамики лежит уравнение движения, учитывающее не только консервативные силы, но и силы трения, а также стохастические флуктуации, возникающие из-за теплового движения жидкости или газа.

Ланжевеновское описание движения частиц

Одним из центральных подходов является уравнение Ланжевена:

$$ m \frac{d^2 \mathbf{r}}{dt^2} = -\gamma \frac{d \mathbf{r}}{dt} + \mathbf{F}_{\text{конс}} + \mathbf{\eta}(t) $$

где:

  • m — масса частицы;
  • γ — коэффициент вязкого трения;
  • Fконс — консервативные силы взаимодействия между частицами (например, кулоновские, ван-дер-ваальсовы);
  • η(t) — случайная флуктуационная сила, удовлетворяющая условию:

⟨ηi(t)⟩ = 0,  ⟨ηi(t)ηj(t′)⟩ = 2γkBTδijδ(t − t′)

Этот формализм отражает баланс между диссипацией энергии и тепловыми флуктуациями, что является проявлением теоремы Флуктуации-Диссипации.

Режимы движения

В диссипативной динамике выделяют несколько характерных режимов:

  1. Овердэмпфированный режим (γ ≫ mω) В этом случае кинетическая энергия частиц быстро рассеивается, и их движение практически мгновенно подчиняется внешним и консервативным силам. Уравнение Ланжевена упрощается до уравнения Брауна:

    $$ \gamma \frac{d \mathbf{r}}{dt} = \mathbf{F}_{\text{конс}} + \mathbf{\eta}(t) $$

    Такой подход часто применяется для коллоидных частиц и полимерных сегментов в растворе.

  2. Поддэмпфированный режим (γ ≪ mω) Здесь инерционные эффекты играют важную роль, наблюдаются осцилляторные колебания частиц перед тем, как энергия рассеивается. Этот режим актуален для микрочастиц в газовой фазе или слабовязких средах.

Модель диссипативного частичного взаимодействия

Важным инструментом в изучении мягкой материи является модель диссипативного частичного взаимодействия (Dissipative Particle Dynamics, DPD). Основные элементы этой модели:

  • Консервативная сила FijC — описывает взаимодействие между частицами, аналогично потенциальной энергии Леннард-Джонса, но с мягким отталкиванием для удобства численного моделирования;

  • Диссипативная сила FijD — отвечает за потерю кинетической энергии и действует пропорционально относительной скорости:

    $$ \mathbf{F}_{ij}^{D} = -\gamma w^D(r_{ij}) (\mathbf{v}_{ij} \cdot \hat{\mathbf{r}}_{ij}) \hat{\mathbf{r}}_{ij} $$

  • Стохастическая сила FijR — обеспечивает термодинамическое равновесие:

    $$ \mathbf{F}_{ij}^{R} = \sigma w^R(r_{ij}) \xi_{ij} \hat{\mathbf{r}}_{ij} $$

Где wD(r), wR(r) — весовые функции, зависящие от расстояния между частицами; ξij — случайная величина с нулевым средним.

Ключевой момент: Диссипативная и стохастическая силы связаны через условие Флуктуации-Диссипации, обеспечивая корректную температуру системы.

Численные методы

Для моделирования диссипативной динамики часто используют методы интеграции во времени, приспособленные для стохастических дифференциальных уравнений:

  • Схема Эйлера-Маруямы — простая, но малопригодна для жестких взаимодействий;
  • Метод Штормера-Верле — улучшает точность интеграции и сохраняет численную стабильность;
  • Метод Гейдена — эффективен для моделей DPD с сохранением температуры и плотности.

Для коллоидных частиц и полимеров важна корректная обработка граничных условий (периодические или отражающие), а также учета гидродинамических взаимодействий, которые существенно влияют на коллективное движение частиц.

Применения диссипативной динамики

  1. Коллоидные суспензии — моделирование агрегации, осаждения, вязкоупругих свойств.
  2. Полимерные растворы и гели — исследование конфигураций цепей, динамики сети, релаксации стресса.
  3. Биологические мембраны и клеточные системы — предсказание диффузии белков, флуктуаций мембран, взаимодействий липидов.
  4. Активные вещества — описание частиц с самоподдерживаемым движением, включая микроорганизмы и синтетические активные частицы.

Диссипативная динамика позволяет объединить микроуровень взаимодействий частиц с макроскопическими наблюдаемыми свойствами мягкой материи, такими как вязкость, диффузия и структурные корреляции.

Ключевые моменты

  • Диссипативная динамика связывает консервативные силы, вязкость и тепловые флуктуации.
  • Уравнение Ланжевена и его овердэмпфированная форма — основа описания движения частиц.
  • DPD-модель позволяет моделировать большие системы частиц с корректным термодинамическим поведением.
  • Численные методы интеграции требуют учета стохастической природы сил и сохранения стабильности системы.
  • Применение охватывает коллоиды, полимеры, биологические мембраны и активные материалы.
Оглавление