Гиперупругость описывает нелинейное упругое поведение материалов, способных выдерживать большие деформации без потери упругости. В отличие от классической линейной теории упругости, где напряжения пропорциональны деформациям (закон Гука), гиперупругие модели базируются на введении функции энергии деформации. Такая функция задает зависимость плотности свободной энергии материала от тензоров деформации и позволяет формулировать конститутивные уравнения даже в областях с большими нелинейными растяжениями.
Ключевая особенность гиперупругих материалов — возможность описывать обратимые деформации вплоть до сотен процентов относительного удлинения. Это свойственно множеству мягких сред: каучукам, полимерным сеткам, гидрогелям и биологическим тканям.
Основой гиперупругих моделей служит потенциал энергии деформации W, который зависит от меры деформации. Чаще всего выбирают в качестве аргумента тензор правой деформации Коши–Грина C:
W = W(C)
Напряжённое состояние выражается через этот потенциал:
$$ \mathbf{S} = 2 \frac{\partial W}{\partial \mathbf{C}} $$
где S — тензор напряжений Пиола–Кирхгофа второго рода.
Для изотропных материалов удобно использовать три инварианта тензора C:
$$ I_1 = \text{tr}(\mathbf{C}), \quad I_2 = \tfrac{1}{2}[(\text{tr}(\mathbf{C}))^2 - \text{tr}(\mathbf{C}^2)], \quad I_3 = \det(\mathbf{C}) $$
Таким образом, энергия записывается в виде
W = W(I1, I2, I3)
что гарантирует объективность и независимость от выбора системы координат.
1. Модель Нео-Гука Эта модель предполагает линейную зависимость энергии деформации от инварианта I1:
$$ W = \tfrac{\mu}{2}(I_1 - 3) $$
где μ — модуль сдвига в малых деформациях. Она хорошо описывает поведение каучука при умеренных деформациях, но имеет ограничения для больших растяжений.
2. Модель Мунни–Ривлина Расширяет модель Нео-Гука, включая оба инварианта:
W = C1(I1 − 3) + C2(I2 − 3)
где C1, C2 — экспериментально определяемые константы. Эта модель значительно точнее в широком диапазоне деформаций.
3. Модель Огдена Описывает материал через главные растяжения λi:
$$ W = \sum_{p=1}^{N} \frac{\mu_p}{\alpha_p} \left( \lambda_1^{\alpha_p} + \lambda_2^{\alpha_p} + \lambda_3^{\alpha_p} - 3 \right) $$
Она обладает высокой универсальностью и используется для сложных материалов, включая ткани и биополимеры.
4. Модель Йео–Марлинса–Стила Предлагает экспоненциальную зависимость энергии от инвариантов, что особенно хорошо подходит для биологических тканей, демонстрирующих сильное упрочнение при растяжении.
Феномен гиперупругости напрямую связан с полимерной природой мягкой материи. Деформация таких материалов обусловлена не сдвигом атомных решеток, как в кристаллах, а переконфигурацией полимерных цепей.
Таким образом, гиперупругие модели могут рассматриваться как макроскопическое приближение энтропийной упругости.