Ланжевеновская динамика

Ланжевеновская динамика представляет собой метод описания движения частиц в средах с сильным влиянием тепловых флуктуаций и вязких сил. Она была предложена Полем Ланжевеном в начале XX века для объяснения броуновского движения. В основе метода лежит разделение сил, действующих на частицу, на систематические (детерминированные) и случайные (стохастические).

Динамика частицы в вязкой среде определяется уравнением Ланжевена:

$$ m \frac{d^2 \mathbf{r}}{dt^2} = -\gamma \frac{d \mathbf{r}}{dt} + \mathbf{F}_{\text{пот}}(\mathbf{r}) + \mathbf{R}(t), $$

где

  • m — масса частицы,
  • γ — коэффициент трения,
  • Fпот(r) — сила, связанная с потенциальным взаимодействием,
  • R(t) — случайная сила, моделирующая тепловые удары молекул среды.

Такое уравнение связывает макроскопическое движение частицы с микроскопическими тепловыми флуктуациями.

Свойства случайной силы

Случайная сила R(t) подчиняется статистическим условиям:

  1. Нулевое среднее значение

    ⟨R(t)⟩ = 0,

    что отражает отсутствие систематического смещения.

  2. Дельта-корреляция

    ⟨Ri(t)Rj(t′)⟩ = 2γkBTδijδ(t − t′),

    где kB — постоянная Больцмана, T — температура. Это условие отражает флуктуационно-диссипативную теорему, связывающую случайные силы с диссипативным механизмом.

Две предельные формы уравнения Ланжевена

  • Полное (инерциальное) уравнение используется для массивных частиц, у которых важна роль ускорения.
  • Переход к уравнению Смолуховского (овердампинговый предел): при больших γ и малых массах инерционный член можно отбросить:

$$ \gamma \frac{d \mathbf{r}}{dt} = \mathbf{F}_{\text{пот}}(\mathbf{r}) + \mathbf{R}(t). $$

Этот случай особенно важен в физике мягкой материи, где исследуемые объекты (коллоиды, полимерные цепи, биомолекулы) обладают значительным сопротивлением среды и практически не проявляют инерции.

Ланжевеновская динамика и статистическая механика

Уравнение Ланжевена играет роль промежуточного описания между микроскопическим (Ньютоновская динамика всех молекул) и макроскопическим (уравнения диффузии и гидродинамики) уровнями.

Через уравнение Ланжевена можно вывести:

  • Уравнение Фоккера–Планка для распределения вероятностей траекторий,
  • Уравнение диффузии для плотности частиц,
  • выражения для коэффициентов диффузии и подвижности.

Например, коэффициент диффузии D связан с трением через соотношение Эйнштейна:

$$ D = \frac{k_B T}{\gamma}. $$

Применения в физике мягкой материи

Ланжевеновская динамика применяется для описания динамики систем, где тепловые флуктуации играют решающую роль.

  • Коллоидные частицы: движение микронных частиц в жидкости определяется балансом вязкого трения и случайных тепловых сил.
  • Полимерные цепи: динамика сегментов описывается ланжевеновскими уравнениями, лежащими в основе моделей Рузи и Зимма.
  • Жидкие кристаллы: вращательные степени свободы молекул можно описывать стохастическими уравнениями Ланжевена.
  • Биофизика: транспорт белков и ДНК в клеточных средах учитывает флуктуационно-диссипативные процессы.

Численные методы решения

В компьютерных моделированиях уравнение Ланжевена широко используется как альтернатива молекулярной динамике. Его численные интеграции выполняются методами:

  • Эйлера–Маруйямы (аналог метода Эйлера для стохастических уравнений),
  • Стохастического Верле (сохраняет более правильную статистику),
  • Гибридных схем с разложением операторов (для больших систем).

Такие методы позволяют моделировать системы из тысяч и миллионов частиц без необходимости учитывать все молекулы растворителя явно.

Связь с гидродинамикой и коллективными эффектами

При расширении ланжевеновского описания на множество взаимодействующих частиц появляется необходимость учитывать гидродинамические взаимодействия. В этом случае случайные силы становятся скоррелированными, а коэффициенты трения зависят от расстояния между частицами.

Это приводит к обобщённым стохастическим уравнениям:

  • уравнение Ланжевена с тензором гидродинамических фрикций,
  • модели Броуновской динамики с памятью, где шум обладает временной корреляцией.

Такие подходы особенно актуальны для описания коллоидных суспензий и полимерных растворов.

Оглавление