Линейная теория упругости

Линейная теория упругости рассматривает поведение твердых тел при малых деформациях, когда выполняется принцип суперпозиции и связь между напряжениями и деформациями описывается линейными соотношениями. Эта теория является фундаментом для анализа упругих сред, включая мягкую материю, где наряду с традиционными твердыми телами могут рассматриваться мембраны, гели, полимеры и другие сложные системы.

Ключевым допущением является малая деформация, при которой геометрические изменения тела невелики и можно пренебречь нелинейными членами в выражениях для тензоров деформаций.

Поле перемещений и тензор деформации

В каждой точке тела при деформации можно ввести вектор перемещений

u(r) = (ux, uy, uz),

где компоненты ui определяют смещение точки из положения равновесия.

Деформация описывается симметричным тензором малых деформаций:

$$ \varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right). $$

Здесь:

  • диагональные элементы εii характеризуют относительное удлинение вдоль соответствующих осей,
  • недиагональные элементы εij, i ≠ j описывают угловые деформации (сдвиг).

Таким образом, деформация — это поле величин, определяющее локальное изменение формы и размеров тела.

Тензор напряжений

Для описания внутренних сил вводится тензор напряжений Коши:

σij,

который характеризует силу, действующую через единичную площадку с нормалью j на направлении i.

Уравнение равновесия в отсутствии объемных сил имеет вид:

$$ \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} = 0. $$

Это условие отражает баланс сил в элементе среды.

Закон Гука в тензорной форме

Связь между напряжениями и деформациями в линейной теории упругости задается обобщенным законом Гука:

σij = Cijkl εkl,

где Cijkl — тензор упругих модулей четвёртого ранга.

Для изотропного тела этот тензор выражается через два независимых упругих параметра — модуль Ламе λ и μ:

σij = λδijεkk + 2μεij.

  • μ — модуль сдвига (характеризует сопротивление сдвиговым деформациям),
  • λ — второй коэффициент Ламе, связанный с объемными изменениями.

Энергия упругой деформации

Энергия упругой деформации в единице объема определяется выражением:

$$ W = \tfrac{1}{2} \sigma_{ij} \varepsilon_{ij}. $$

Для изотропного случая:

$$ W = \tfrac{\lambda}{2} (\varepsilon_{kk})^2 + \mu \varepsilon_{ij}\varepsilon_{ij}. $$

Это выражение важно для анализа устойчивости упругих систем, построения вариационных принципов и численных методов.

Основные упругие модули

Кроме коэффициентов Ламе, широко используются и другие характеристики:

  • Модуль Юнга

$$ E = \frac{\mu (3\lambda + 2\mu)}{\lambda + \mu}, $$

  • Коэффициент Пуассона

$$ \nu = \frac{\lambda}{2(\lambda + \mu)}, $$

  • Модуль объемного сжатия

$$ K = \lambda + \tfrac{2}{3}\mu. $$

Эти параметры экспериментально измеримы и применяются для описания конкретных материалов.

Уравнения Ламе

Комбинируя уравнения равновесия и закон Гука, получаем систему уравнений в перемещениях — уравнения Ламе:

μ∇2u + (λ + μ)∇(∇ ⋅ u) = 0.

Эти уравнения описывают распределение перемещений в упругом теле и являются базой для решения задач упругости.

Волновые процессы в упругой среде

Линейная теория упругости также описывает распространение упругих волн. В результате анализа получаются два типа волн:

  • Продольные волны (P-волны) со скоростью

$$ c_p = \sqrt{\frac{\lambda + 2\mu}{\rho}}, $$

  • Поперечные волны (S-волны) со скоростью

$$ c_s = \sqrt{\frac{\mu}{\rho}}. $$

Эти соотношения играют ключевую роль в акустике твердых тел, сейсмологии, исследовании динамики мембран и мягкой материи.

Анизотропия и тензор упругости

Для кристаллов и композитных материалов тензор упругих модулей не сводится к двум параметрам, как в изотропном случае.

  • В общем случае тензор Cijkl обладает 21 независимой компонентой.
  • Для кубических кристаллов их всего 3.
  • Для мембран и слоистых структур линейная теория учитывает сильную анизотропию, что отражается в различных модулях упругости вдоль и поперек слоев.

Применение к мягкой материи

Хотя линейная теория упругости изначально развивалась для твердых тел, она успешно применяется и к мягкой материи:

  • Гели и полимеры рассматриваются как упругие среды с малыми деформациями при кратковременных нагрузках.
  • Биологические мембраны при локальных воздействиях демонстрируют линейно-упругий отклик, описываемый через тензорные соотношения.
  • Жидкие кристаллы при малых возмущениях могут быть рассмотрены как упругие континуумы с анизотропными свойствами.

Такая универсальность делает линейную теорию упругости базовым инструментом в физике мягкой материи, несмотря на то, что для больших деформаций и нелинейных эффектов требуются расширенные теории.

Оглавление