Метод Монте-Карло (ММК) является одним из ключевых численных инструментов для исследования систем мягкой материи. Он позволяет моделировать термодинамические и структурные свойства макроскопических систем на основе статистических выборок микросостояний. В отличие от детерминированных методов, таких как интегрирование уравнений движения, ММК использует случайные числа для генерации конфигураций системы и оценки физических величин через усреднение.
Основная идея метода Монте-Карло заключается в вычислении средних значений физических величин по ансамблю микросостояний, распределенных согласно соответствующему статистическому закону. Для систем мягкой материи чаще всего используется энергетическое распределение Больцмана, где вероятность конфигурации C задается:
$$ P(C) \propto \exp\left(-\frac{E(C)}{k_B T}\right), $$
где E(C) — энергия конфигурации, kB — постоянная Больцмана, T — температура системы.
Метод состоит в случайной генерации конфигураций и принятии или отклонении их с определенной вероятностью, так чтобы распределение полученных конфигураций совпадало с целевым. Основной алгоритм, используемый для этого, — алгоритм Метрополиса.
Инициализация системы. Задается начальная конфигурация системы C0 и рассчитывается ее энергия E0.
Генерация нового состояния. На основе текущей конфигурации создается новая C′ (например, смещением одной частицы на случайный вектор).
Вычисление изменения энергии. ΔE = E(C′) − E(C).
Критерий принятия нового состояния.
Усреднение физических величин. После прогрева системы до стационарного состояния вычисляются средние значения интересующих величин, например, плотности, радиусов действия, функций корреляции.
Повторение шагов. Процесс повторяется достаточно долго, чтобы получить статистически значимую выборку.
Метод Монте-Карло особенно эффективен для систем с сильными флуктуациями и сложными взаимодействиями, характерными для мягкой материи:
Полимерные цепи. С помощью ММК можно моделировать пространственную конфигурацию длинных цепей, вычислять средний радиус действия Rg, распределения концевых точек и строить фазовые диаграммы.
Коллоидные системы. Для систем твердых частиц в жидкой среде ММК позволяет изучать структурные свойства, такие как функции парного распределения g(r), координационное число и кластеры.
Липидные бислои. Метод используется для моделирования мембран, исследуя флуктуации поверхности, фазовые переходы и упорядоченность липидов.
Канонический ансамбль (NVT). Температура, объем и число частиц фиксированы; используется распределение Больцмана.
Изобарический ансамбль (NPT). Позволяет изменять объем системы, контролируя давление. Полезно для исследования фазовых переходов мягкой материи.
Грандканонический ансамбль (μVT). Число частиц варьируется при фиксированном химическом потенциале, что актуально для изучения адсорбции и фазового равновесия.
Методы смещения и кластерного обновления. Для уменьшения корреляции между последовательными конфигурациями применяются специальные схемы, такие как cluster moves для полимеров и спиновых систем.
Корреляция между конфигурациями. Плохо подобранные шаги могут приводить к сильной корреляции, что увеличивает время усреднения.
Медленная сходимость для редких событий. Фазовые переходы и редкие конфигурации требуют специальных техник, таких как Umbrella Sampling или Replica Exchange.
Не дает динамических свойств напрямую. ММК предоставляет только термодинамические средние величины, но не реальные траектории частиц во времени.