Модели Максвелла и Кельвина-Фойгта

В теории вязкоупругости, описывающей поведение мягкой материи, широко используются два фундаментальных феноменологических подхода — модель Максвелла и модель Кельвина–Фойгта. Эти модели представляют собой простейшие механические аналоги, позволяющие формализовать связь между напряжением и деформацией в системах, сочетающих свойства упругости и вязкости. Несмотря на их упрощённый характер, они играют ключевую роль в понимании процессов релаксации напряжений, ползучести и колебательных откликов мягких материалов.

Основные принципы построения моделей

В обоих случаях материал представляется системой, составленной из идеализированных элементов:

  • упругий элемент (пружина), который подчиняется закону Гука:

    σ = E ε,

    где σ — напряжение, ε — деформация, E — модуль Юнга.

  • вязкий элемент (демпфер, или ньютоновский поршень), описываемый законом вязкого сопротивления:

    σ = η ε̇,

    где η — коэффициент вязкости, ε̇ — скорость деформации.

Комбинация этих элементов в разных конфигурациях приводит к различным динамическим свойствам модели.

Модель Максвелла

Схема: пружина и демпфер соединены последовательно.

Уравнение состояния

В такой системе деформация складывается:

ε = εe + εv,

где εe — деформация упругого элемента, εv — вязкого.

Так как напряжение в последовательном соединении одинаково для обоих элементов, имеем:

σ = Eεe = ηε̇v.

После преобразований получается основное уравнение модели Максвелла:

$$ \dot{\varepsilon} = \frac{1}{E} \dot{\sigma} + \frac{1}{\eta} \sigma . $$

Основные свойства

  • Релаксация напряжений. Если зафиксировать деформацию (ε̇ = 0), напряжение экспоненциально убывает:

    σ(t) = σ0e−t/τ,

    где τ = η/E — время релаксации.

  • Ползучесть. При постоянном напряжении деформация растёт линейно во времени, что соответствует чисто вязкому течению на больших временах.

Таким образом, модель Максвелла хорошо описывает явления релаксации, но неадекватно передаёт поведение при ползучести в реальных мягких материалах, где часто наблюдается насыщение деформации.

Модель Кельвина–Фойгта

Схема: пружина и демпфер соединены параллельно.

Уравнение состояния

В параллельном соединении деформация одинакова для обоих элементов:

ε = εe = εv.

Напряжение при этом складывается:

σ = Eε + ηε̇.

Основные свойства

  • Ползучесть. Если приложить постоянное напряжение, деформация приближается к конечному значению экспоненциально:

    $$ \varepsilon(t) = \frac{\sigma_0}{E} \left( 1 - e^{-t/\tau} \right) , $$

    где τ = η/E. Таким образом, модель описывает постепенное “затухающее” нарастание деформации.

  • Релаксация напряжений. При фиксированной деформации напряжение остаётся постоянным, что не соответствует реальным вязкоупругим материалам, где напряжение обычно релаксирует.

  • Колебательные процессы. Под действием переменной нагрузки материал по этой модели ведёт себя как комбинация упругости и вязкого сопротивления, демонстрируя фазовый сдвиг между напряжением и деформацией.

Сравнительный анализ моделей

  • Модель Максвелла хорошо описывает релаксацию напряжений, но не учитывает насыщение деформации при ползучести.
  • Модель Кельвина–Фойгта, наоборот, корректно описывает ползучесть, но не воспроизводит релаксацию напряжений.
  • Обе модели вводят характерное время релаксации τ = η/E, отражающее баланс между упругостью и вязкостью.

Расширенные комбинации

Так как ни одна из моделей в чистом виде не воспроизводит весь спектр наблюдаемых явлений, в физике мягкой материи применяются составные модели, такие как:

  • Модель стандартного линейного тела (модель Фойгта–Максвелла), включающая комбинацию последовательного и параллельного соединения элементов.
  • Модели с несколькими временами релаксации, описывающие широкий диапазон масштабов времени, характерный для полимерных систем, гелей и биологических тканей.

Эти расширенные подходы позволяют достоверно описывать сложные процессы, включая нелинейные эффекты и зависимость от частоты возбуждения.

Оглавление