Нелинейная упругость описывает поведение материалов, в которых связь между напряжениями и деформациями не может быть аппроксимирована линейным законом Гука. Для мягкой материи, включающей биологические ткани, полимеры, гели и мембраны, этот режим является нормой, а не исключением. Сложные взаимодействия на молекулярном уровне, сильные флуктуации и геометрические ограничения приводят к появлению нелинейных эффектов даже при относительно малых деформациях.
Ключевая особенность нелинейной упругости — это учёт больших деформаций, когда тензор деформации и тензор напряжений перестают быть линейно связанными. Для описания состояния системы необходимо вводить более общие меры деформации и напряжения, такие как тензор Коши–Грина, первый и второй тензоры Пиола–Кирхгофа.
При больших деформациях линейный тензор деформации малых перемещений становится недостаточным. Используются нелинейные меры:
Правый тензор Коши–Грина
C = FTF
где F — градиент деформации. Этот тензор отражает изменения длины и углов в материале.
Левый тензор Коши–Грина
B = FFT
используется для анализа в текущей конфигурации.
Тензоры Пиола–Кирхгофа применяются для описания напряжений: первый тензор связывает силы с площадками в исходной конфигурации, а второй — симметричен и напрямую связан с вариацией энергии деформации.
Основной метод нелинейной теории упругости — введение потенциала упругой энергии, зависящего от инвариантов тензора деформации. Для изотропных материалов функцию энергии можно представить через три инварианта:
W = W(I1, I2, I3),
где
$$ I_1 = \text{tr}(C), \quad I_2 = \tfrac{1}{2}[(\text{tr} C)^2 - \text{tr}(C^2)], \quad I_3 = \det C. $$
Для мягкой материи часто используется модель неосжимаемого материала, где I3 = 1, так как многие гели, жидкости и ткани практически не изменяют объём при деформации.
Модель нео-Гука Простая форма, учитывающая только первый инвариант:
$$ W = \tfrac{\mu}{2}(I_1 - 3), $$
где μ — модуль сдвига. Применима для резин и гелей при малых и умеренных деформациях.
Модель Мун–Ривлина Уточнение, учитывающее комбинацию первых двух инвариантов:
W = C1(I1 − 3) + C2(I2 − 3).
Описывает более сложные материалы, где присутствуют нелинейные эффекты растяжения и сдвига.
Модель Огдена Использует спектральное разложение тензора деформации и степенные зависимости собственных растяжений:
$$ W = \sum_{p=1}^N \frac{\mu_p}{\alpha_p} (\lambda_1^{\alpha_p} + \lambda_2^{\alpha_p} + \lambda_3^{\alpha_p} - 3). $$
Это наиболее универсальная модель для полимерных материалов, тканей и биологических мембран.
В мягкой материи важны флаттонные и изгибные деформации, которые не сводятся только к растяжению. Например, для липидных мембран энергия деформации описывается не только через упругость сдвига, но и через кривизну поверхности:
$$ F = \int \left[ \frac{\kappa}{2}(2H - C_0)^2 + \bar{\kappa} K \right] dA, $$
где H — средняя кривизна, K — гауссова кривизна, κ и κ̄ — модули изгиба, C0 — спонтанная кривизна.
Таким образом, нелинейная упругость в мягкой материи тесно связана с геометрией конфигурации системы, а не только с локальными деформациями.