Теория упругости рассматривает деформацию твёрдых тел под действием внешних нагрузок, а также связь между силами и возникающими перемещениями. В основе лежит предположение, что материал восстанавливает первоначальную форму и объём после снятия нагрузки (упругий отклик), по крайней мере в пределах определённых напряжений.
Ключевые величины в теории упругости — напряжения, характеризующие силы, действующие внутри тела, и деформации, описывающие изменение формы и размеров.
Тензор напряжений σij определяет силу, приходящуюся на единицу площади с нормалью в направлении j, действующую в направлении i. Тензор деформаций εij характеризует относительное изменение расстояний между точками тела.
Для малых деформаций:
$$ \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right), $$
где ui — поле перемещений.
Для изотропных материалов связь между напряжениями и деформациями имеет вид:
σij = λ δij εkk + 2μ εij,
где
Параметры λ и μ связаны с более привычными механическими характеристиками: модулем Юнга E и коэффициентом Пуассона ν.
$$ \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}, \quad \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}. $$
Эти соотношения определяют упругие свойства среды и позволяют выразить напряжения через деформации в наиболее общем виде для линейно-упругих изотропных тел.
В отсутствие объемных сил уравнения равновесия записываются как:
$$ \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} = 0. $$
При наличии массовых сил fi:
$$ \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + f_i = 0. $$
Эти уравнения отражают баланс сил внутри упругого тела.
Объединение уравнений равновесия и закона Гука с определением деформаций приводит к уравнениям Навье для перемещений:
μ∇2u + (λ + μ)∇(∇ ⋅ u) + f = 0.
Это фундаментальное уравнение линейной изотропной теории упругости, описывающее распределение перемещений в теле под действием нагрузок.
Одним из ключевых принципов теории упругости является энергетический подход. Упругая энергия деформации определяется выражением:
$$ W = \frac{1}{2} \sigma_{ij} \varepsilon_{ij}. $$
Эта величина представляет собой потенциальную энергию, запасённую в теле при деформации. Минимизация полной энергии системы лежит в основе вариационных методов решения задач теории упругости.
Для полной постановки задачи необходимо дополнить уравнения равновесия граничными условиями. Существуют два типа:
Часто задачи комбинированные, где часть границы фиксирована, а на другой заданы внешние нагрузки.
Для анизотропных материалов тензор упругих констант имеет более сложную структуру. Общая линейная связь между напряжениями и деформациями записывается как:
σij = Cijkl εkl,
где Cijkl — четвёртого ранга тензор упругих модулей, обладающий симметриями по индексам.
В случае кристаллов количество независимых компонент Cijkl определяется симметрией решётки:
В теории упругости важное место занимает рассмотрение волн деформаций. Уравнения движения с учётом инерционных членов:
$$ \rho \frac{\partial^2 u_i}{\partial t^2} = \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + f_i, $$
где ρ — плотность материала.
В изотропной среде возникают два типа волн:
$$ v_p = \sqrt{\frac{\lambda + 2\mu}{\rho}}, $$
$$ v_s = \sqrt{\frac{\mu}{\rho}}. $$
Соотношение между ними играет ключевую роль в сейсмологии и акустике твёрдых тел.
В реальных материалах при больших деформациях проявляются отклонения от линейного закона Гука. В нелинейной теории упругости учитываются квадратичные и кубические поправки к тензорам деформаций. Это важно для описания сильных деформаций в полимерах, биологических тканях и мягкой материи.
Хотя классическая теория упругости возникла для твёрдых тел, её методы применяются и к объектам мягкой материи: мембранам, полимерным сеткам, гелям, жидким кристаллам. Здесь вводятся дополнительные параметры — изгибная жёсткость, поверхностные натяжения, нелинейные модули, что позволяет описывать широкий класс явлений от морфогенеза биологических тканей до механики наноструктур.