Ренормализационная группа

Ренормализационная группа (РГ) является одним из центральных понятий современной теоретической физики, в особенности физики конденсированного состояния и мягкой материи. Она описывает, как поведение физических систем зависит от масштаба — пространственного, временного или энергетического. В системах мягкой материи, где характерны коллективные явления, флуктуации и многочастичные взаимодействия, РГ позволяет объяснять универсальные свойства критических явлений и фазовых переходов.

Главная идея метода заключается в последовательном “укрупнении” описания системы: мелкомасштабные детали исключаются, а параметры теории трансформируются так, чтобы физика на больших масштабах оставалась правильно воспроизведённой. Таким образом, ренормализационная группа представляет собой метод изучения инвариантности физических систем при изменении масштаба.

Интегрирование по быстрым степеням свободы

Пусть имеется система, описываемая гамильтонианом или функционалом свободной энергии. В рамках РГ проводится интегрирование по “быстрым” степеням свободы (флуктуациям с короткими длинами волн), что позволяет перейти к эффективной теории для “медленных” степеней свободы.

Для поля ϕ(r) это можно записать следующим образом. В пространстве Фурье поле разделяется на компоненты:

ϕ(r) = ϕ_<(r) + ϕ_>(r),

где ϕ_< содержит моды с волновыми числами k < Λ/b, а ϕ_> — моды в узкой оболочке Λ/b < k < Λ, где Λ — ультрафиолетовый срез, b > 1 — параметр укрупнения масштаба.

После интегрирования по ϕ_> получается новый эффективный функционал для ϕ_<, который затем масштабируется так, чтобы восстановить исходный диапазон волновых чисел. На этом этапе параметры системы (например, коэффициенты перед градиентными и нелинейными членами) изменяются.

Потоки параметров и фиксированные точки

Трансформации параметров при изменении масштаба можно рассматривать как динамическую систему в пространстве констант взаимодействия. Пусть {g_i} — набор безразмерных констант, описывающих систему. Тогда при изменении масштаба b их эволюция задаётся уравнениями:

$$ \frac{dg_i}{d\ln b} = \beta_i(\{g\}), $$

где β_i — функции потока (бета-функции).

Фиксированные точки (β_i = 0) определяют возможные универсальные классы поведения системы.
Стабильные фиксированные точки описывают критическое поведение при фазовых переходах второго рода.
Нестабильные фиксированные точки могут соответствовать границам фазовых областей или переходам к новым режимам.

Масштабная инвариантность и критические индексы

Вблизи фиксированных точек возникает масштабная инвариантность. Это означает, что система не имеет характерного масштаба длины: флуктуации наблюдаются на всех уровнях. Именно здесь проявляется феномен универсальности: микроскопические детали системы становятся несущественными, а определяющими оказываются лишь симметрия, размерность и характер взаимодействий.

Критические индексы (α, β, γ, ν, η) описывают поведение наблюдаемых величин (теплоёмкости, намагниченности, корреляционной длины и т.д.) вблизи критической точки. В РГ-подходе они вычисляются через собственные значения матрицы линеаризованных бета-функций при фиксированных точках. Например, корреляционная длина подчиняется скейлинговому закону:

ξ ∼ |T − T_c|^−ν.

РГ в моделях мягкой материи

Системы мягкой материи — полимеры, коллоиды, жидкие кристаллы, мембраны — обладают большим числом степеней свободы и сложной внутренней структурой. Именно поэтому методы РГ оказываются исключительно полезными.

Полимерные системы. РГ объясняет, как изменяется статистика длинных цепей при переходе от микроскопических к макроскопическим масштабам. Например, размер клубка полимера масштабируется с длиной цепи как R ∼ N^ν, где показатель ν определяется РГ-анализом.
Жидкие кристаллы. Критическое поведение при переходе из изотропной фазы в нематическую также описывается в рамках РГ, причём флуктуации ориентационного порядка оказываются ключевыми.
Мембраны и биосистемы. Для гибких мембран РГ позволяет понять, как флуктуации кривизны изменяют эффективные упругие модули при увеличении масштаба наблюдения.

Пространственная размерность и критическое поведение

Одним из важнейших результатов РГ является понимание роли размерности пространства. Для каждой модели существует верхняя критическая размерность d_c, выше которой флуктуации становятся несущественными, и система описывается в рамках теории среднего поля.

Для модели Изинга d_c = 4.
Для полимерной статистики d_c = 4.
Для мембран и поверхностей ситуация сложнее: их поведение зависит от внутренней и вложенной размерностей.

При d < d_c флуктуации радикально изменяют критическое поведение, и именно здесь РГ становится необходимым инструментом.

Применение ε-разложения

Метод ϵ-разложения (или ϵ-развития) является классическим инструментом РГ-анализа. Он основан на разложении теории вблизи верхней критической размерности:

d = d_c − ϵ.

Например, для модели Изинга при d = 4 − ϵ критические индексы вычисляются как ряды по ϵ. Хотя такие ряды обычно не сходятся, они являются асимптотическими и дают высокую точность при использовании методов суммирования.

Геометрический и физический смысл РГ

РГ можно рассматривать как “микроскоп”: при последовательном изменении масштаба мы видим, как мелкомасштабные особенности постепенно теряются, а на больших расстояниях проявляются универсальные структуры.

Для мягкой материи это означает:

локальные взаимодействия и химические детали становятся менее важными;
доминирует коллективное поведение, описываемое малыми наборами параметров;
именно эти параметры и их поток под действием РГ определяют наблюдаемую макроскопическую физику.