Скейлинговые гипотезы

Основные идеи скейлинга

Скейлинговые гипотезы опираются на представление о том, что вблизи критических точек и при наличии иерархии длинноволновых флуктуаций система теряет зависимость от микроскопических деталей и подчиняется универсальным степенным законам. Эта универсальность проявляется в том, что поведение самых разных систем может быть описано одними и теми же критическими показателями, которые не зависят от конкретной природы взаимодействий, а определяются лишь симметрией и размерностью системы.

В мягкой материи, где доминируют коллективные и флуктуационные явления (полимерные клубки, коллоидные суспензии, жидкие кристаллы, мембраны), скейлинговые подходы играют ключевую роль в описании структурных и динамических свойств.

Универсальные критические показатели

Основные критические показатели:

  • α — характеризует поведение теплоёмкости: C ∼ |t|−α, где t = (T − Tc)/Tc.
  • β — описывает поведение порядка (например, намагниченности или плотности порядка в жидком кристалле): M ∼ |t|β.
  • γ — отвечает за дивергенцию восприимчивости: χ ∼ |t|−γ.
  • ν — связан с корреляционной длиной: ξ ∼ |t|−ν.
  • η — индекс, описывающий аномальную размерность корреляционных функций: G(r) ∼ r−(d − 2 + η).

Для мягкой материи особенно важны показатели, связанные с корреляционной длиной (ν) и аномальными флуктуациями (η), так как именно они определяют крупномасштабную организацию систем.

Гипотеза скейлинга для свободной энергии

Основная скейлинговая гипотеза постулирует, что сингулярная часть свободной энергии на единицу объема fs зависит от корреляционной длины ξ и внешнего поля h степенным образом:

$$ f_s(t,h) = |t|^{2-\alpha} \, \Phi\!\left(\frac{h}{|t|^{\beta+\gamma}}\right), $$

где Φ — универсальная функция скейлинга.

Это соотношение позволяет вывести скейлинговые законы для других термодинамических функций и установить взаимосвязь между критическими показателями.

Скейлинговые соотношения

Из гипотезы скейлинга следуют ключевые соотношения:

  • соотношение Рашбрука: α + 2β + γ = 2;

  • соотношение Джозефсона: d ν = 2 − α, где d — размерность системы;

  • соотношение Фишера: γ = (2 − η)ν.

Эти соотношения подтверждаются как экспериментально, так и в рамках ренормгруппового анализа.

Скейлинг в полимерной физике

Особое место скейлинговые гипотезы занимают в полимерной физике. Конфигурация длинного полимерного клубка в хорошем растворителе описывается радиусом гирации R, который масштабируется с числом мономеров N:

R ∼ Nν,

где показатель ν зависит только от размерности пространства и типа взаимодействий. В трёхмерном пространстве для идеальной цепи (без объёмных взаимодействий) ν = 1/2, а для реальной полимерной цепи с учётом самовыталкивания ν ≈ 0.588.

Такой универсальный характер позволяет предсказывать поведение полимеров независимо от конкретной химической природы мономеров.

Скейлинг в коллоидных системах и жидких кристаллах

В коллоидных суспензиях корреляционная длина флуктуаций плотности играет роль основного масштаба. При подходе к точке фазового перехода (например, разделение фаз жидкость–жидкость) структура корреляций подчиняется степенным законам с теми же критическими показателями, что и у обычных флюидов.

В жидких кристаллах, особенно в переходе из изотропной фазы в нематическую, также наблюдаются скейлинговые зависимости. Порядок, описываемый параметром порядка Q, подчиняется степенному закону с показателем β, а упругие модули нематической фазы масштабируются с корреляционной длиной, что приводит к универсальным законам роста флуктуаций ориентационного порядка.

Динамический скейлинг

Не менее важным является динамический скейлинг, который связывает временные масштабы релаксации с пространственными корреляционными длинами. Характерное время релаксации τ масштабируется как:

τ ∼ ξz,

где z — динамический критический показатель.

В мягкой материи это проявляется, например, в аномально медленной релаксации вязкоупругих жидкостей, в критическом замедлении около фазовых переходов и в росте времени диффузии в коллоидных системах при увеличении концентрации.

Ренормгрупповое обоснование скейлинга

Скейлинговые гипотезы получают строгую основу в рамках ренормгруппового подхода, где система рассматривается при последовательном «укрупнении» масштабов. В результате многие микроскопические параметры уходят на второй план, а поведение определяется лишь фиксированными точками ренормгруппового преобразования.

Для мягкой материи это особенно значимо: коллоиды, полимеры, мембраны и жидкие кристаллы обладают множеством микроскопических степеней свободы, но при крупномасштабном описании все сводится к универсальным скейлинговым законам.

Оглавление