Теория Ландау

Теория Ландау представляет собой феноменологический подход к описанию фазовых переходов, основанный на введении порядка как макроскопической характеристики системы. В отличие от микроскопических моделей, она не требует знания деталей межмолекулярных взаимодействий, а использует лишь симметрийные соображения и гладкость термодинамических потенциалов.

Ключевым понятием теории является параметр порядка — величина, равная нулю в симметричной фазе и отличная от нуля в упорядоченной фазе. Для ферромагнетика им служит намагниченность, для кристаллов жидкостей — плотность или величина трансляционного порядка, для сверхпроводников — комплексная волновая функция конденсата.

Разложение термодинамического потенциала

Термодинамический потенциал свободной энергии F рассматривается как аналитическая функция параметра порядка η. Вблизи точки фазового перехода можно записать разложение:

F(η) = F0 + a(T)η2 + bη4 + cη6 + …

Здесь:

  • F0 — свободная энергия симметричной фазы,
  • a(T) — коэффициент, зависящий от температуры, который меняет знак при переходе через критическую точку,
  • b, c > 0 — коэффициенты, стабилизирующие систему.

Таким образом, изменение знака коэффициента a(T) приводит к изменению устойчивого состояния системы и возникновению нового значения параметра порядка.

Фазовые переходы второго рода

Если b > 0, то при T > Tc минимум энергии достигается при η = 0. При понижении температуры и достижении точки Tc, где a(T) = 0, появляется минимум при ненулевом значении параметра порядка:

$$ \eta \propto \sqrt{\frac{-a(T)}{2b}} \quad \text{при } T < T_c. $$

Такой сценарий соответствует фазовому переходу второго рода (или непрерывному), при котором параметр порядка изменяется плавно, без скачка. Классическими примерами являются переход ферромагнетика в парамагнитное состояние и переход жидкость–сверхтекучая жидкость.

Фазовые переходы первого рода

При b < 0 и c > 0 разложение свободной энергии принимает вид:

F(η) = a(T)η2 − |b|η4 + cη6.

В этом случае возможны два минимума свободной энергии — при η = 0 и при η ≠ 0. При некоторой температуре T* они становятся равновесными, и система переходит из одной фазы в другую скачком параметра порядка. Такой переход называется фазовым переходом первого рода.

В отличие от переходов второго рода, здесь наблюдаются скрытая теплота и скачки в энтропии. К примеру, плавление и кипение — яркие представители переходов первого рода.

Критическое поведение и универсальность

Теория Ландау предсказывает характерные критические индексы — показатели, описывающие поведение физических величин вблизи критической точки. Например, для магнитной системы:

  • параметр порядка: $\eta \sim (T_c - T)^\beta, \quad \beta = \tfrac{1}{2},$
  • восприимчивость: χ ∼ |T − Tc|−γ,  γ = 1,
  • теплоёмкость: C ∼ |T − Tc|−α,  α = 0,
  • критометрическое соотношение: δ = 3.

Эти значения являются универсальными в рамках теории Ландау, но в реальности могут отличаться из-за флуктуаций, особенно в системах малой размерности.

Роль симметрии

Одним из важнейших аспектов является связь фазовых переходов с нарушением симметрии. Теория Ландау утверждает:

  • фазовый переход связан с понижением симметрии системы,
  • тип параметра порядка определяется характером нарушаемой симметрии,
  • структура разложения свободной энергии должна быть инвариантна относительно операций группы симметрии высокой температуры.

Например, переход в ферромагнитное состояние связан с нарушением инверсии M⃗ → −M⃗.

Ограничения теории Ландау

Хотя теория Ландау успешно описывает многие явления, она имеет ряд ограничений:

  1. Игнорирование флуктуаций — приближение хорошо работает в трёхмерных системах вдали от критической точки, но даёт неверные результаты в низких размерностях (например, в двумерных системах).
  2. Некорректность критических индексов по сравнению с экспериментом — реальные системы показывают иные значения, объясняемые в рамках ренормгруппового подхода.
  3. Недостаточность для описания фаз без явного параметра порядка (например, топологических фаз).

Обобщения теории

Для более полного описания реальных систем теория Ландау была расширена:

  • Теория Ландау–Гинзбурга включает пространственные градиенты параметра порядка, позволяя описывать неоднородности и доменные структуры.
  • Ренормгрупповой анализ учитывает критические флуктуации и уточняет значения критических индексов.
  • Мультипараметрические модели описывают переходы, связанные с несколькими параметрами порядка, взаимодействующими между собой.

Эти направления делают феноменологию Ландау основой современной теории фазовых переходов и критических явлений.

Оглавление