Уравнение Фоккера-Планка

Уравнение Фоккера–Планка (УФП) является фундаментальным инструментом для описания эволюции вероятностных распределений систем, находящихся под действием случайных флуктуаций и диссипативных процессов. Оно играет ключевую роль в статистической физике, особенно в контексте физики мягкой материи, где термальные флуктуации, вязкость среды и случайные силы определяют динамику частиц, макромолекул и коллоидов.

Формально, УФП описывает время-зависимость функции распределения P(x, t) для переменной x (например, координаты частицы или компоненты импульса):

$$ \frac{\partial P(x,t)}{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial x}\big[A(x) P(x,t)\big] + \frac{\partial^2}{\partial x^2}\big[B(x) P(x,t)\big], $$

где:

  • A(x) — дрейфовая (детерминированная) составляющая, связанная с внешними силами и потенциалами,
  • B(x) — диффузионная (стохастическая) составляющая, определяющая интенсивность случайных флуктуаций.

Это уравнение можно рассматривать как непрерывное обобщение дискретной марковской цепи и как макроскопическое следствие стохастического процесса Ланжевена.

Связь с уравнением Ланжевена

Рассмотрим одномерный процесс Ланжевена:

$$ m \frac{dv}{dt} = -\gamma v + F(x) + \xi(t), $$

где m — масса частицы, γ — коэффициент вязкости, F(x) = −∂U/∂x — сила, производная от потенциала U(x), а ξ(t) — белый шум с корреляцией

⟨ξ(t)ξ(t′)⟩ = 2γkBTδ(t − t′).

Для овердэмпингового (масса m мала или диссипация велика) предела m → 0 уравнение Ланжевена приводит к одномерному УФП для координаты x:

$$ \frac{\partial P(x,t)}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x} \left[ \frac{1}{\gamma} \frac{\partial U}{\partial x} P(x,t) + \frac{k_B T}{\gamma} \frac{\partial P(x,t)}{\partial x} \right]. $$

Здесь дрейфовая составляющая $A(x) = -\frac{1}{\gamma} \frac{\partial U}{\partial x}$, а диффузионная $B = \frac{k_B T}{\gamma}$ постоянна. Это стандартная форма УФП для мягкой материи, где частицы подвергаются термальным флуктуациям в вязкой жидкости.

Стационарные решения

Стационарное распределение Pst(x) удовлетворяет условию ∂Pst/∂t = 0. Для системы в термодинамическом равновесии оно определяется потенциалом U(x):

$$ 0 = -\frac{\partial}{\partial x}[A(x) P_\mathrm{st}(x)] + \frac{\partial^2}{\partial x^2}[B(x) P_\mathrm{st}(x)]. $$

При постоянной диффузии B(x) = B стационарное решение имеет форму Больцмана:

$$ P_\mathrm{st}(x) = \frac{1}{Z} \exp\Big[-\frac{U(x)}{k_B T}\Big], \quad Z = \int \exp[-U(x)/k_B T] dx. $$

Это демонстрирует прямую связь между УФП и статистической механикой.

Применение к коллоидным и полимерным системам

В физике мягкой материи УФП используется для описания:

  1. Коллоидных частиц в жидкости

    • Вязкость среды задаёт коэффициент γ, а термальные флуктуации — диффузию B.
    • Стационарное распределение отражает баланс между внешними полями и броуновским движением.

  2. Релаксации полимерных цепей

    • Для моделей типа Rouse уравнение Фоккера–Планка описывает распределение сегментов полимерной цепи.
    • Дрейфовая составляющая связана с эластичностью цепи, а диффузия — с внутренними флуктуациями.

  3. Динамики мягких материалов под внешним возмущением

    • УФП позволяет вычислять вероятности переходов между метастабильными состояниями, релаксационные времена и спектры флуктуаций.

Методы решения

Для практических задач УФП решается:

  • Аналитически для простых потенциалов (гармонический осциллятор, линейные поля).
  • Численно через метод конечных разностей или стохастическое моделирование.
  • Через стохастические траектории Ланжевена, что часто удобнее для высокоразмерных систем.

В многомерном случае x → x, уравнение обобщается:

$$ \frac{\partial P(\mathbf{x},t)}{\partial t} = -\nabla \cdot \big[ \mathbf{A}(\mathbf{x}) P(\mathbf{x},t) \big] + \nabla \cdot \big[ \mathbf{B}(\mathbf{x}) \cdot \nabla P(\mathbf{x},t) \big], $$

где A и B — вектор дрейфа и тензор диффузии соответственно. Это особенно важно для полимеров и коллоидных систем с несколькими степенями свободы.

Флуктуационно-диссипативное соотношение

Связь между дрейфовой и диффузионной составляющими задается теоремой Флуктуаций–Диссипации:

B(x) = kBTΓ(x),

где Γ(x) — коэффициент вязкости (или обратная подвижность). Это гарантирует, что система приходит к термодинамическому равновесию, соответствующему распределению Больцмана.

Ключевые моменты

  • УФП описывает эволюцию вероятностных распределений для систем с флуктуациями и диссипацией.
  • Связь с уравнением Ланжевена позволяет переходить от стохастической траектории к макроскопическому распределению.
  • Стационарные решения отражают баланс между потенциальной энергией и диффузией.
  • В многомерных системах УФП учитывает корреляции между степенями свободы.
  • Флуктуационно-диссипативная теорема гарантирует соответствие термодинамическому равновесию.

Уравнение Фоккера–Планка является краеугольным камнем физики мягкой материи, позволяя связывать микроскопические случайные движения с макроскопическими свойствами систем.

Оглавление