В кристалле движение электрона или дырки существенно отличается от движения свободной частицы в вакууме. Электрон в полупроводнике испытывает действие периодического потенциала кристаллической решётки, что приводит к модификации его динамических свойств. В таких условиях становится невозможным использование обычной массы покоя электрона m0. Для описания поведения носителей вводится эффективная масса — величина, которая характеризует инерционные свойства квазичастиц и определяется кривизной зоны энергии в зависимости от квазиимпульса.
Основным инструментом для определения эффективной массы является зависимость энергии электрона от его квазиимпульса E(k). Вблизи минимума зоны проводимости или максимума валентной зоны эта зависимость может быть аппроксимирована квадратичной формой:
$$ E(\mathbf{k}) \approx E_c + \frac{\hbar^2 k^2}{2m^*}, $$
где
Таким образом, движение электрона вблизи экстремума энергетической зоны эквивалентно движению свободной частицы с массой m*.
Более строго эффективная масса определяется как:
$$ \frac{1}{m^*_{ij}} = \frac{1}{\hbar^2} \cdot \frac{\partial^2 E}{\partial k_i \, \partial k_j}, $$
что указывает на тензорный характер этой величины.
В анизотропных кристаллах, например в кремнии или германии, эффективная масса различна по разным кристаллографическим направлениям. В этом случае вводится тензор эффективной массы:
$$ \hat{m}^* = \begin{pmatrix} m^*_{xx} & m^*_{xy} & m^*_{xz} \\ m^*_{yx} & m^*_{yy} & m^*_{yz} \\ m^*_{zx} & m^*_{zy} & m^*_{zz} \end{pmatrix}. $$
Если кристалл обладает кубической симметрией (например, GaAs), тензор эффективной массы становится изотропным, и величина m* одинакова во всех направлениях.
Для электронов, находящихся в зоне проводимости, эффективная масса положительна, так как энергия возрастает с ростом |k|. Для дырок, находящихся вблизи максимума валентной зоны, ситуация иная: кривизна спектра отрицательна, и эффективная масса формально приобретает отрицательное значение. Однако принято считать дырки квазичастицами с положительным зарядом и положительной эффективной массой, что удобно при описании транспортных свойств.
В полупроводниках с кубической симметрией (например, в GaAs, Si, Ge) валентная зона имеет сложную структуру. Вблизи точки Γ различают:
Эта мультизонная структура приводит к сложному поведению носителей, особенно при высоких уровнях возбуждения или в сильных электрических полях.
Эффективная масса напрямую связана с динамикой носителей. Уравнение движения в электрическом поле E имеет вид:
$$ \hbar \frac{d\mathbf{k}}{dt} = -e\mathbf{E}, $$
а скорость электрона выражается как
$$ \mathbf{v} = \frac{1}{\hbar} \nabla_{\mathbf{k}} E(\mathbf{k}). $$
Для параболической аппроксимации зоны проводимости получаем аналог закона Ньютона:
$$ m^* \frac{d\mathbf{v}}{dt} = -e\mathbf{E}. $$
Таким образом, эффективная масса играет роль массы в классической механике, определяя инерционность квазичастицы.
Значение m* сильно зависит от структуры зонного спектра:
Существует несколько подходов:
$$ \omega_c = \frac{eB}{m^*}. $$
$$ \mu = \frac{e\tau}{m^*}, $$
где τ – время релаксации.
Эффективная масса оказывает фундаментальное влияние на:
Чем меньше эффективная масса, тем выше скорость и подвижность носителей, что делает материалы перспективными для быстродействующей электроники и оптоэлектроники.