Кристаллическая решётка представляет собой трёхмерное периодическое расположение атомов или ионов в твёрдом теле. В основе её построения лежит элементарная ячейка — минимальный объём пространства, который при многократном параллельном переносе воспроизводит всю структуру кристалла. Элементарная ячейка определяется тремя векторами трансляции a, b, c, задающими периодичность решётки.
Положение любого узла решётки описывается линейной комбинацией этих векторов с целочисленными коэффициентами:
R = n1a + n2b + n3c, ni ∈ ℤ.
Данное свойство периодичности лежит в основе зонной теории твёрдого тела, поскольку периодический потенциал кристалла определяет энергетические зоны, разрешённые и запрещённые состояния электронов в полупроводниках.
Если элементарная ячейка содержит один атом или ион, говорят о примитивной ячейке. Однако в большинстве полупроводниковых материалов (например, кремний, германий, арсенид галлия) примитивная ячейка включает несколько атомов, объединённых в так называемый базис. Так, кристаллы кремния и германия кристаллизуются в структуре типа алмаза: примитивная ячейка содержит два атома, расположенных в тетраэдрической координации. Арсенид галлия (GaAs) имеет схожую решётку цинковой обманки, где базис состоит из атома Ga и атома As.
Существует конечное множество способов упорядочить узлы в пространстве с учётом периодичности. В трёхмерном пространстве выделяют 14 бравеевых решёток, которые классифицируются по 7 кристаллографическим системам:
Полупроводниковые материалы особый интерес представляют именно в кубической системе, к которой относятся решётки типа алмаза и цинковой обманки.
Симметрия кристалла определяется совокупностью его трансляционных и точечных симметрий. К точечным операциям относятся:
В совокупности трансляционные и точечные симметрии образуют группу симметрии кристалла, или пространственную группу. В трёхмерном пространстве существует 230 возможных пространственных групп.
Высокая степень симметрии непосредственно определяет электронные свойства полупроводников. Например, наличие центра инверсии или его отсутствие влияет на разрешённые переходы между энергетическими состояниями, а также на нелинейные оптические эффекты.
Кристаллы кремния и германия имеют кубическую гранецентрированную решётку, в которой два атома образуют базис, расположенный в позициях:
$$ (0,0,0) \quad \text{и} \quad \left(\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{4}\right). $$
Такое расположение создаёт тетраэдрическую координацию, при которой каждый атом окружён четырьмя ближайшими соседями. Эта геометрия является прямым следствием валентных связей sp³-гибридизации, что определяет полупроводниковые свойства материала.
Арсенид галлия, индий-фосфид и ряд других соединений AIII–BV кристаллизуются в решётке типа цинковой обманки. Она также основана на гранецентрированной кубической решётке, но базис состоит из двух разных атомов (например, Ga и As). Отсутствие центра инверсии в этой структуре имеет ключевое значение для оптических свойств: именно благодаря этому реализуются сильные нелинейные эффекты второго порядка, такие как генерация второй гармоники.
Периодичность кристаллического потенциала позволяет использовать теорему Блоха, согласно которой волновая функция электрона в кристалле записывается как произведение плоской волны на функцию с периодичностью решётки:
ψn, k(r) = un, k(r)eik ⋅ r.
Симметрия решётки накладывает ограничения на допустимые значения энергии при заданных волновых векторах, что приводит к формированию зонной диаграммы.
Таким образом, именно симметрия решётки определяет расположение энергетических минимумов и максимумов, а значит, и фундаментальные электронные и оптические свойства полупроводника.
Для анализа электронных состояний вводят понятие обратной решётки, построенной на векторах, сопряжённых к векторам прямой решётки. Узлы обратной решётки задают структуру зоны Бриллюэна — области в пространстве волновых векторов, содержащей все уникальные состояния. Симметрия зоны Бриллюэна соответствует симметрии кристалла, что позволяет использовать методы группы симметрий для классификации энергетических уровней и анализа вырожденных состояний.