Понятие плотности состояний является ключевым элементом зонной теории твёрдых тел, определяющим распределение доступных энергетических уровней для электронов в кристалле. Плотность состояний описывает, сколько электронных уровней доступно в интервале энергий dE на единицу объёма. Эта величина не зависит от конкретных электронов, а характеризует саму структуру энергетического спектра кристалла.
Плотность состояний g(E) определяется как функция энергии:
$$ g(E) = \frac{dN(E)}{dE}, $$
где N(E) — общее число квантовых состояний с энергией, не превышающей E. Если рассматривать систему объёмом V, то для нормировки обычно используют величину плотности состояний на единицу объёма:
$$ g(E) = \frac{1}{V} \frac{dN(E)}{dE}. $$
Для трёхмерного идеализированного кристалла удобно рассматривать свободные электроны, у которых зависимость энергии от волнового вектора имеет вид:
$$ E(\mathbf{k}) = \frac{\hbar^2 k^2}{2m^*}, $$
где m* — эффективная масса электрона.
В пространстве волновых векторов каждый квантовый уровень соответствует элементарной ячейке объёмом
$$ \Delta k = \frac{2\pi}{L}, $$
где L — размер кристалла. Таким образом, число состояний внутри сферы радиусом k в пространстве k-векторов пропорционально её объёму.
Число состояний с модулями волнового вектора, не превышающими k:
$$ N(k) = \frac{V}{(2\pi)^3} \cdot \frac{4\pi k^3}{3} \cdot 2, $$
где множитель 2 учитывает спиновое вырождение.
Выражая k через энергию, получаем зависимость:
$$ N(E) = \frac{V}{3\pi^2} \left(\frac{2m^*E}{\hbar^2}\right)^{3/2}. $$
Следовательно, плотность состояний:
$$ g(E) = \frac{1}{2\pi^2} \left(\frac{2m^*}{\hbar^2}\right)^{3/2} \sqrt{E}. $$
Таким образом, в трёхмерном случае плотность состояний растёт пропорционально $\sqrt{E}$.
Полупроводниковые наноструктуры — квантовые ямы, квантовые проволоки и квантовые точки — существенно изменяют зависимость плотности состояний.
В двумерных системах (квантовые ямы) плотность состояний не зависит от энергии (ступенчатая функция):
$$ g_{2D}(E) = \frac{m^*}{\pi \hbar^2}. $$
В одномерных системах (квантовые проволоки) плотность состояний имеет характерные особенности:
$$ g_{1D}(E) = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{m^*}{2\hbar^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{E - E_n}}, $$
где En — энергия соответствующей квантовой подзоны. При E → En плотность состояний стремится к бесконечности, образуя так называемые «сингулярности Ван Хова».
В нульмерных системах (квантовые точки) плотность состояний становится дискретной: каждый уровень представлен дельта-функцией:
g0D(E) = ∑nδ(E − En).
Таким образом, размерность системы радикально влияет на вид функции плотности состояний.
В реальных полупроводниках энергия электронов вблизи дна зоны проводимости и вершины валентной зоны определяется не свободными электронами, а их эффективной массой. Если минимум зоны проводимости находится при энергии Ec, то число состояний для электронов с энергией выше Ec записывается как:
$$ g_c(E) = \frac{1}{2\pi^2} \left(\frac{2m_e^*}{\hbar^2}\right)^{3/2} \sqrt{E - E_c}, $$
где me* — эффективная масса электрона.
Аналогично, для валентной зоны, вершина которой находится на уровне Ev:
$$ g_v(E) = \frac{1}{2\pi^2} \left(\frac{2m_h^*}{\hbar^2}\right)^{3/2} \sqrt{E_v - E}, $$
где mh* — эффективная масса дырки.
Ключевая особенность: плотность состояний вблизи края зоны зависит от эффективной массы носителей. Чем больше масса, тем выше плотность состояний при фиксированной энергии.
Для практических расчётов вводят понятие эффективной плотности состояний в зоне проводимости (Nc) и в валентной зоне (Nv):
$$ N_c = 2 \left( \frac{2 \pi m_e^* k_B T}{h^2} \right)^{3/2}, \quad N_v = 2 \left( \frac{2 \pi m_h^* k_B T}{h^2} \right)^{3/2}. $$
Эти величины позволяют перейти от интегральных уравнений к компактным формулам для концентрации электронов и дырок:
$$ n = N_c \exp\left(-\frac{E_c - E_F}{k_B T}\right), \quad p = N_v \exp\left(-\frac{E_F - E_v}{k_B T}\right), $$
где EF — энергия уровня Ферми.