Распределение Ферми-Дирака

Рассмотрение статистики электронов в твёрдом теле невозможно без учёта принципа Паули, согласно которому два электрона не могут находиться в одном квантовом состоянии с одинаковыми квантовыми числами. Это фундаментальное ограничение определяет форму функции распределения, описывающей вероятность нахождения электрона в определённом энергетическом состоянии. В отличие от классической статистики Максвелла–Больцмана, где частицы считаются неразличимыми и неограниченно могут занимать одно состояние, для электронов применима квантовая статистика Ферми–Дирака.

Основная формула распределения

Функция распределения Ферми–Дирака задаётся выражением

$$ f(E) = \frac{1}{\exp\left(\frac{E - E_F}{kT}\right) + 1}, $$

где

  • f(E) — вероятность того, что энергетическое состояние с энергией E занято электроном,
  • EF — энергия Ферми,
  • k — постоянная Больцмана,
  • T — абсолютная температура.

Данная функция принимает значения в диапазоне от 0 до 1, что соответствует вероятности занятости состояния. При этом в отличие от классической статистики вероятность никогда не превышает единицы, что полностью согласуется с принципом запрета Паули.

Энергия Ферми

Энергия Ферми EF определяется как уровень энергии, до которого при абсолютном нуле температуры (T = 0) заполнены все энергетические состояния. Это ключевая характеристика электронного газа в твёрдом теле, определяющая распределение носителей заряда.

  • При T = 0 К функция распределения имеет вид ступенчатой функции: все состояния с энергией E < EF полностью заполнены (f(E) = 1), а состояния с энергией E > EF пусты (f(E) = 0).
  • При конечных температурах (T > 0) функция сглаживается, и часть электронов получает возможность переходить на уровни выше EF, оставляя нижеуровневые состояния вакантными.

Таким образом, энергия Ферми выступает своеобразным «порогом», разделяющим заполненные и незаполненные состояния в системе.

Поведение распределения при разных температурах

  1. При T = 0 К:

    $$ f(E) = \begin{cases} 1, & E < E_F \\ 0, & E > E_F \end{cases} $$

    Все электроны занимают состояния с минимальной энергией.

  2. При низких температурах (T ≪ EF/k): Распределение отличается от ступенчатого лишь вблизи уровня Ферми. Только электроны с энергией, близкой к EF, способны изменять своё состояние, участвуя в тепловых процессах и проводимости.

  3. При высоких температурах (T ≫ EF/k): Распределение приближается к классическому распределению Максвелла–Больцмана:

    $$ f(E) \approx \exp\left(-\frac{E - E_F}{kT}\right), $$

    что справедливо для E − EF ≫ kT. В этом случае влияние принципа Паули практически исчезает.

Значение распределения для полупроводников

Для полупроводников функция Ферми–Дирака играет центральную роль при расчёте концентрации носителей заряда.

  • Электроны в зоне проводимости. Концентрация электронов определяется интегрированием функции плотности состояний gc(E) и функции распределения f(E):

    n = ∫Ec∞gc(E)f(E) dE,

    где Ec — нижняя граница зоны проводимости.

  • Дырки в валентной зоне. Концентрация дырок определяется через вероятность вакантности состояний:

    p = ∫−∞Evgv(E) [1 − f(E)] dE,

    где Ev — верхняя граница валентной зоны.

Таким образом, знание распределения Ферми–Дирака позволяет точно рассчитать равновесные концентрации носителей заряда в полупроводнике при любой температуре.

Приближения в вычислениях

В большинстве практических задач, особенно при высоких температурах и низкой концентрации носителей (ненасыщенные уровни), используют приближение Максвелла–Больцмана, при котором функция распределения упрощается:

$$ f(E) \approx \exp\left(-\frac{E - E_F}{kT}\right). $$

Это позволяет существенно облегчить расчёты при сохранении достаточной точности. Однако для сильно вырожденных полупроводников, где концентрация носителей велика и заполнение уровней вблизи EF значительно, необходимо использовать полную функцию Ферми–Дирака.

Графическая интерпретация

График распределения Ферми–Дирака показывает плавный переход вероятности от 1 к 0 вблизи энергии Ферми. Ширина переходной области определяется температурой и равна примерно 4kT.

  • При низких температурах переход резкий.
  • При увеличении температуры кривая становится более пологой, что отражает возможность термического возбуждения электронов на уровни выше энергии Ферми.

Связь с электронной проводимостью

Только те электроны, которые находятся вблизи уровня Ферми, могут эффективно участвовать в процессах переноса заряда и теплопередачи. Электроны, находящиеся глубоко ниже EF, не могут изменять своё состояние из-за занятости нижних уровней.

Поэтому именно функция распределения Ферми–Дирака определяет:

  • концентрацию свободных носителей,
  • температурную зависимость проводимости,
  • вероятность термических переходов между зонами.
Оглавление