Собственная проводимость

Собственная проводимость в полупроводниках представляет собой процесс переноса заряда, обусловленный исключительно термическим возбуждением электронов из валентной зоны в зону проводимости. В этом случае концентрация электронов в зоне проводимости полностью равна концентрации дырок в валентной зоне, так как каждый возбужденный электрон оставляет после себя незаполненное состояние — дырку. Такой режим наблюдается в чистых, не легированных полупроводниках при достаточно высоких температурах, когда примесные уровни и поверхностные эффекты не оказывают доминирующего влияния.

Механизм образования носителей заряда

В кристалле полупроводника электроны находятся в валентной зоне при температуре, близкой к абсолютному нулю. При повышении температуры часть электронов получает энергию, достаточную для преодоления запрещённой зоны шириной E_g. После перехода в зону проводимости эти электроны становятся подвижными носителями заряда, а оставшиеся в валентной зоне вакантные состояния интерпретируются как дырки, обладающие положительным эффективным зарядом.

Таким образом, процесс генерации носителей описывается термическим возбуждением с вероятностью, задаваемой распределением Ферми–Дирака, а их равновесные концентрации определяются соотношением между плотностью состояний в зонах и статистическими законами распределения.

Концентрация носителей при собственной проводимости

Для описания концентрации электронов в зоне проводимости используют выражение:

$$ n = N_c \exp\left(-\frac{E_c - E_F}{kT}\right), $$

где

• N_c — эффективная плотность состояний в зоне проводимости,
• E_c — энергия дна зоны проводимости,
• E_F — уровень Ферми,
• k — постоянная Больцмана,
• T — абсолютная температура.

Аналогично для дырок в валентной зоне:

$$ p = N_v \exp\left(-\frac{E_F - E_v}{kT}\right), $$

где

• N_v — эффективная плотность состояний в валентной зоне,
• E_v — энергия потолка валентной зоны.

В условиях собственной проводимости выполняется равенство n = p = n_i, где n_i — концентрация собственных носителей заряда.

Концентрация собственных носителей

Объединяя выражения для n и p, получаем фундаментальное соотношение:

$$ n_i^2 = N_c N_v \exp\left(-\frac{E_g}{kT}\right), $$

где E_g = E_c − E_v — ширина запрещённой зоны.

Таким образом, концентрация собственных носителей:

$$ n_i = \sqrt{N_c N_v} \exp\left(-\frac{E_g}{2kT}\right). $$

Это выражение показывает, что концентрация резко возрастает с ростом температуры и уменьшается с увеличением ширины запрещённой зоны.

Температурная зависимость

Эффективные плотности состояний N_c и N_v пропорциональны T^3/2:

$$ N_c = 2 \left(\frac{2 \pi m_n^* kT}{h^2}\right)^{3/2}, \quad N_v = 2 \left(\frac{2 \pi m_p^* kT}{h^2}\right)^{3/2}, $$

где m_n^* и m_p^* — эффективные массы электронов и дырок соответственно, h — постоянная Планка.

Следовательно, температурная зависимость собственной концентрации имеет вид:

$$ n_i \propto T^{3/2} \exp\left(-\frac{E_g}{2kT}\right). $$

Экспоненциальный множитель играет определяющую роль: даже небольшое увеличение температуры существенно повышает концентрацию носителей в полупроводнике.

Уровень Ферми при собственной проводимости

В условиях собственной проводимости уровень Ферми располагается примерно посередине запрещённой зоны:

$$ E_F \approx \frac{E_c + E_v}{2} + \frac{3}{4}kT \ln\left(\frac{m_p^*}{m_n^*}\right). $$

Коррекция зависит от отношения эффективных масс электронов и дырок. Если m_n^* = m_p^*, то уровень Ферми находится точно в середине щели.

Электропроводность

Проводимость полупроводника выражается как

σ = q(nμ_n + pμ_p),

где μ_n и μ_p — подвижности электронов и дырок, q — заряд электрона.

В случае собственной проводимости n = p = n_i, и формула принимает вид:

σ = qn_i(μ_n + μ_p).

Зависимость электропроводности от температуры определяется не только экспоненциальным ростом n_i, но и температурным уменьшением подвижности носителей вследствие увеличения числа фононных рассеяний. В результате проводимость демонстрирует характерное быстрое возрастание с температурой, начиная с определённой критической области.

Практическое значение

Собственная проводимость играет ключевую роль в определении фундаментальных характеристик полупроводниковых материалов. Она задаёт предельный уровень шумов в электронных устройствах, устанавливает нижнюю границу удельного сопротивления для чистых кристаллов и определяет температурные пределы работы приборов.

В реальных условиях собственная проводимость становится доминирующей при достаточно высоких температурах, когда концентрация примесных носителей оказывается пренебрежимо малой по сравнению с n_i. Для большинства полупроводников, используемых в электронике (например, кремний, германии), переход к собственному режиму проводимости происходит при температурах, значительно превышающих комнатную.