Соотношение Эйнштейна

Общая формулировка

В полупроводниковой физике носители заряда (электроны и дырки) перемещаются под действием двух основных процессов: дрейфа в электрическом поле и диффузии вследствие градиента концентрации. Несмотря на различную физическую природу этих процессов, их коэффициенты оказываются связаны фундаментальным соотношением, установленным А. Эйнштейном. Это соотношение играет ключевую роль в описании транспорта носителей заряда и является прямым следствием статистической физики и теории флуктуаций.

Соотношение Эйнштейна выражается в виде:

$$ \frac{D}{\mu} = \frac{kT}{q}, $$

где

  • D – коэффициент диффузии носителей заряда,
  • μ – их подвижность,
  • k – постоянная Больцмана,
  • T – абсолютная температура,
  • q – заряд носителя (для электрона −e, для дырки +e).

Это соотношение показывает, что движение носителей в полупроводнике определяется не только внешними воздействиями (полем или концентрационным градиентом), но и фундаментальными термодинамическими закономерностями.

Физическая сущность соотношения

Дрейфовый ток возникает из-за упорядоченного движения носителей под действием электрического поля:

Jдр = q nμE,

где n – концентрация носителей, E – напряжённость электрического поля.

Диффузионный ток обусловлен неравномерным распределением носителей и направлен из областей с высокой концентрацией в области с низкой:

$$ J_{\text{диф}} = q D \frac{dn}{dx}. $$

В термодинамическом равновесии токи, вызванные диффузией и дрейфом, компенсируют друг друга. Это условие равновесия лежит в основе вывода соотношения Эйнштейна.

Вывод соотношения Эйнштейна

Пусть существует равновесная система, где число носителей описывается статистикой Больцмана. При малом изменении химического потенциала μc (уровня Ферми для электронов в зоне проводимости) концентрация электронов может быть представлена как

$$ n(x) = n_0 \exp\!\left(-\frac{q \varphi(x)}{kT}\right), $$

где φ(x) – электростатический потенциал.

Если рассмотреть баланс токов:

$$ J = q n \mu E + q D \frac{dn}{dx}, $$

и потребовать равновесия (J = 0), то из связи $\frac{dn}{dx}$ с потенциалом φ(x) получается:

$$ \frac{D}{\mu} = \frac{kT}{q}. $$

Таким образом, равновесие между диффузией и дрейфом является прямым источником данного соотношения.

Температурная зависимость

Соотношение Эйнштейна показывает, что отношение D/μ зависит исключительно от температуры и не зависит от структуры материала. При росте температуры величина kT/q увеличивается, что приводит к более интенсивной диффузии при фиксированной подвижности.

При комнатной температуре (300 K):

$$ \frac{kT}{q} \approx 0.0259 \, \text{В}. $$

Эта величина часто используется в инженерных расчетах как тепловое напряжение VT.

Практическое значение в полупроводниках

  1. Оценка коэффициента диффузии. Измеряя подвижность носителей (μ), можно определить коэффициент диффузии без прямых экспериментов:

    $$ D = \mu \frac{kT}{q}. $$

  2. Диффузионная длина носителей. Длина диффузии L выражается через коэффициент диффузии и время жизни носителей:

    $$ L = \sqrt{D \tau} = \sqrt{\mu \frac{kT}{q} \tau}. $$

    Это фундаментальный параметр, определяющий эффективность фотопреобразователей, светодиодов и лазеров.

  3. Проектирование приборов. Соотношение Эйнштейна используется при расчетах характеристик диодов, транзисторов и солнечных элементов. Например, ток насыщения в p-n-переходе напрямую связан с D и, следовательно, с μ.

  4. Диагностика материалов. Измеряя подвижность и время жизни носителей, можно получать сведения о степени чистоты кристалла, уровне дефектов и примесей.

Обобщения соотношения Эйнштейна

В ряде случаев простая форма соотношения нарушается:

  • Дегенерация носителей. При высоких концентрациях электронов или дырок (например, в сильно легированных полупроводниках) распределение носителей описывается статистикой Ферми–Дирака, и соотношение Эйнштейна приобретает более сложную форму с учётом интегралов Ферми.

  • Неоднородные и неравновесные системы. При сильных электрических полях и высоких уровнях инжекции носителей возможны отклонения от стандартного соотношения.

  • Двухмерные и квантовые структуры. В полупроводниковых наноструктурах (квантовые ямы, провода, точки) плотность состояний изменяется, и соотношение Эйнштейна должно модифицироваться с учетом квантовых эффектов.

Значение для современной электроники

Соотношение Эйнштейна является одним из фундаментальных связующих звеньев между термодинамикой и электрическими свойствами полупроводников. Оно позволяет не только объяснять равновесные процессы, но и проводить точные расчеты характеристик современных устройств – от кремниевых транзисторов до нанофотонных структур.

Его универсальность проявляется в том, что оно выводится из общих принципов статистической физики и применимо ко всем типам носителей и материалов, включая традиционные кремний и арсенид галлия, а также органические и двумерные полупроводники.

Оглавление