Статистика дырок в валентной зоне

В полупроводниках при температурах, отличных от абсолютного нуля, часть электронов из валентной зоны возбуждается в зону проводимости. При этом в валентной зоне остаются незаполненные состояния, которые рассматриваются как квазичастицы — дырки. Дырка обладает положительным зарядом, а её поведение в электрических и магнитных полях аналогично движению положительно заряженного носителя. Для корректного описания процессов в полупроводниках необходимо рассматривать статистику распределения дырок по энергетическим состояниям.

Функция распределения для дырок

Электроны в полупроводнике подчиняются распределению Ферми–Дирака:

$$ f(E) = \frac{1}{e^{(E - E_F)/kT} + 1}, $$

где

E — энергия электронного состояния,
E_F — уровень Ферми,
k — постоянная Больцмана,
T — абсолютная температура.

Вероятность того, что электронное состояние в валентной зоне окажется свободным, определяется как

1 − f(E).

Эта величина и есть вероятность существования дырки в данном состоянии. Таким образом, распределение дырок можно записать как

$$ f_p(E) = 1 - f(E) = \frac{1}{e^{-(E - E_F)/kT} + 1}. $$

Заметим, что эта функция описывает вероятность заполненности энергетических уровней дырками, и по форме является функцией Ферми–Дирака, но с противоположным знаком в экспоненте.

Плотность состояний для дырок

Валентная зона характеризуется своей плотностью состояний. Для электронов в валентной зоне плотность состояний вблизи её верхнего края E_v можно записать как

$$ g_v(E) = \frac{1}{2\pi^2}\left(\frac{2m_p^*}{\hbar^2}\right)^{3/2} \sqrt{E_v - E}, $$

где

m_p^* — эффективная масса дырки,
E_v — энергия верхней границы валентной зоны,
E — энергия рассматриваемого состояния (E ≤ E_v).

Так как дырка — это отсутствие электрона, то энергетический спектр дырок удобно отсчитывать от уровня E_v, где энергия дырки E_p = E_v − E.

Концентрация дырок в валентной зоне

Численная концентрация дырок определяется интегрированием произведения плотности состояний на вероятность их занятости дырками:

p = ∫_−∞^E_vg_v(E) f_p(E) dE.

Для удобства интеграл переписывают через энергию дырки:

p = ∫₀^∞g_v(E_p) f_p(E_p) dE_p,

где плотность состояний для дырок имеет вид

$$ g_v(E_p) = \frac{1}{2\pi^2}\left(\frac{2m_p^*}{\hbar^2}\right)^{3/2} \sqrt{E_p}. $$

Приближение невырожденного полупроводника

В большинстве практически используемых полупроводников уровень Ферми лежит вблизи середины запрещённой зоны или ближе к зоне проводимости. Тогда условие

E_F ≪ E_v − 3kT

выполняется, и можно использовать максвелловское приближение:

f_p(E) ≈ e^{(E − E_F)/kT}.

Подставляя это в выражение для концентрации, получаем:

p = N_v e^{−(E_F − E_v)/kT},

где

$$ N_v = 2\left(\frac{2\pi m_p^* kT}{h^2}\right)^{3/2} $$

— эффективная плотность состояний в валентной зоне.

Физический смысл полученной формулы

Экспоненциальная зависимость показывает, что концентрация дырок чувствительна к положению уровня Ферми относительно края валентной зоны. Чем ближе E_F к E_v, тем выше концентрация дырок.
Температурная зависимость проявляется через множитель N_v, который возрастает как T^3/2, и через экспоненту, ослабляющую зависимость при высоких температурах.
Эффективная масса дырки напрямую влияет на величину N_v. Чем больше масса, тем выше плотность состояний и, соответственно, концентрация дырок.

Свойства распределения дырок

При абсолютном нуле температуры (T = 0) валентная зона полностью заполнена электронами, и дырок не существует: p = 0.
При повышении температуры часть электронов возбуждается в зону проводимости, и число дырок растёт экспоненциально.
В вырожденных полупроводниках (например, сильно легированных p-типом) приближение Максвелла становится неприменимым, и требуется строгое использование функции Ферми–Дирака.

Влияние легирования на статистику дырок

В чистом (интринзикном) полупроводнике концентрация дырок равна концентрации электронов:

p = n = n_i,

где n_i — собственная концентрация носителей.

В легированном полупроводнике p-типа основными носителями становятся дырки. Если концентрация акцепторов N_A велика по сравнению с собственной концентрацией n_i, то

p ≈ N_A,

а уровень Ферми смещается ближе к валентной зоне.

В сильно вырожденных p-полупроводниках (N_A ≫ 10¹⁹ см⁻³) распределение дырок перестаёт описываться простыми экспоненциальными законами, так как уровень Ферми уходит внутрь валентной зоны.