Поведение электронов в зоне проводимости полупроводника подчиняется законам квантовой статистики Ферми–Дирака. В отличие от классической максвелловской статистики, применимой к газам и сильно разреженным системам, здесь необходимо учитывать принцип Паули, запрещающий нахождение двух электронов в одном и том же квантовом состоянии. Именно этот принцип определяет вероятностное распределение электронов по энергетическим уровням.
Вероятность того, что энергетическое состояние с энергией E будет занято электроном, задаётся выражением:
$$ f(E) = \frac{1}{e^{\frac{E - E_F}{kT}} + 1}, $$
где
Функция f(E) плавно изменяется от значения, близкого к 1 при E ≪ EF, до значений, близких к 0 при E ≫ EF. При температуре T = 0 распределение принимает вид ступенчатой функции: все состояния ниже уровня Ферми полностью заполнены, а выше — пусты.
Энергия Ферми играет ключевую роль в статистике электронов. Для полупроводников слаболегированных и при невысоких температурах уровень Ферми располагается вблизи середины запрещённой зоны. В случае собственных полупроводников положение энергии Ферми определяется условием равенства концентраций электронов и дырок:
$$ E_F = \frac{E_c + E_v}{2} + \frac{3}{4}kT \ln\left(\frac{m_p^*}{m_n^*}\right), $$
где
Число электронов в зоне проводимости определяется интегрированием произведения плотности состояний и функции распределения:
n = ∫Ec∞gc(E)f(E) dE,
где gc(E) — плотность состояний в зоне проводимости.
Для трёхмерного случая плотность состояний имеет вид:
$$ g_c(E) = \frac{1}{2\pi^2}\left(\frac{2m_n^*}{\hbar^2}\right)^{3/2} \sqrt{E - E_c}, \quad E \geq E_c. $$
При высоких температурах (E − EF ≫ kT) функция распределения упрощается до экспоненциального закона Максвелла–Больцмана:
$$ f(E) \approx e^{-\frac{E - E_F}{kT}}. $$
Подставив это приближение, получаем выражение для концентрации электронов:
$$ n = N_c \, e^{-\frac{E_c - E_F}{kT}}, $$
где
$$ N_c = 2 \left( \frac{2\pi m_n^* kT}{h^2} \right)^{3/2} $$
— эффективная плотность состояний в зоне проводимости.
Величина Nc не является реальной концентрацией носителей, а представляет собой число доступных квантовых состояний на единицу объёма, приходящихся на энергетический диапазон порядка kT над дном зоны проводимости. При увеличении температуры Nc возрастает, что означает возможность заселения большего числа энергетических уровней.
Если концентрация примесей настолько велика, что уровень Ферми лежит внутри зоны проводимости, распределение электронов уже нельзя описывать приближением Максвелла–Больцмана. В этом случае используется полная функция Ферми–Дирака, а поведение электронного газа аналогично вырожденному электронному газу в металлах.
Для описания таких ситуаций вводятся интегралы Ферми–Дирака:
$$ F_r(\eta) = \frac{1}{\Gamma(r+1)} \int_0^\infty \frac{x^r}{1 + e^{x - \eta}} dx, $$
где $\eta = \frac{E_F - E_c}{kT}$ — приведённый уровень Ферми, а r — показатель, зависящий от размерности задачи.
Тогда концентрация электронов выражается как:
n = NcF1/2(η).