Температурная зависимость концентрации носителей

Основные представления

В полупроводниках носителями электрического тока являются электроны в зоне проводимости и дырки в валентной зоне. Их равновесная концентрация определяется взаимодействием между энергетическим спектром кристалла и статистикой Ферми–Дирака, а также зависит от температуры, так как термическая энергия частиц влияет на вероятность перехода электронов через запрещённую зону.

При низких температурах полупроводник ведёт себя как изолятор, так как число возбужденных электронов крайне мало. При повышении температуры растёт вероятность термического возбуждения, и концентрация носителей резко увеличивается, что приводит к росту электропроводности.

Фундаментальное выражение для концентрации электронов и дырок

Равновесная концентрация электронов в зоне проводимости выражается как:

$$ n = N_c \exp\left(-\frac{E_c - E_F}{kT}\right), $$

где

• N_c — эффективная плотность состояний в зоне проводимости,
• E_c — энергия дна зоны проводимости,
• E_F — энергия уровня Ферми,
• k — постоянная Больцмана,
• T — абсолютная температура.

Аналогично, концентрация дырок в валентной зоне:

$$ p = N_v \exp\left(-\frac{E_F - E_v}{kT}\right), $$

где

• N_v — эффективная плотность состояний в валентной зоне,
• E_v — энергия потолка валентной зоны.

Таким образом, распределение носителей по температурам связано как с шириной запрещённой зоны E_g = E_c − E_v, так и с положением уровня Ферми.

Эффективная плотность состояний

Эффективные плотности состояний зависят от температуры:

$$ N_c = 2 \left( \frac{2 \pi m_n^* kT}{h^2} \right)^{3/2}, \quad N_v = 2 \left( \frac{2 \pi m_p^* kT}{h^2} \right)^{3/2}, $$

где m_n^* и m_p^* — эффективные массы электрона и дырки соответственно, h — постоянная Планка.

Такое выражение показывает, что даже при фиксированном уровне Ферми плотности состояний увеличиваются с ростом температуры по закону T^3/2.

Уравнение массового действия

В равновесии выполняется фундаментальное соотношение:

np = n_i²,

где n_i — собственная концентрация носителей.

Собственная концентрация выражается как:

$$ n_i = \sqrt{N_c N_v} \exp\left(-\frac{E_g}{2kT}\right). $$

Отсюда видно, что основная температурная зависимость определяется экспоненциальным множителем, содержащим ширину запрещённой зоны.

Три температурных режима

Температурная зависимость концентрации носителей в реальном полупроводнике можно разделить на три области:

1. Область низких температур (замороженные носители)

   • Здесь энергия теплового возбуждения недостаточна для ионизации примесей или возбуждения электронов через запрещённую зону.
   • Концентрация носителей крайне мала, и проводимость близка к нулю.

2. Область средних температур (примесная проводимость)

   • При этих температурах термическая энергия достаточна для ионизации донорных или акцепторных уровней.
   • Концентрация носителей определяется концентрацией примесей и слабо зависит от температуры.
   • Электропроводность растёт слабо, уровень Ферми смещается вблизи примесных уровней.

3. Область высоких температур (собственная проводимость)

   • Здесь вклад примесей становится несущественным по сравнению с термически сгенерированными носителями.
   • Собственная концентрация n_i возрастает экспоненциально с температурой, и именно этот рост определяет электропроводность.
   • Уровень Ферми смещается вблизи середины запрещённой зоны.

Экспоненциальный рост и его следствия

Зависимость вида

$$ n_i \propto T^{3/2} \exp\left(-\frac{E_g}{2kT}\right) $$

объясняет, почему даже небольшое изменение температуры приводит к резкому изменению электропроводности. Для кремния (E_g ≈ 1.1 эВ) и германия (E_g ≈ 0.66 эВ) при комнатной температуре концентрации носителей различаются на порядки. Более широкозонные полупроводники, такие как GaN (E_g ≈ 3.4 эВ), практически не имеют собственной проводимости при обычных условиях и требуют высоких температур для её проявления.

Влияние температуры на уровень Ферми

При низких и средних температурах положение уровня Ферми зависит от концентрации ионизированных примесей. В области собственной проводимости E_F стремится к середине запрещённой зоны, так как выполняется равенство n = p.

Таким образом, температура не только изменяет концентрацию носителей, но и смещает энергетический баланс внутри полупроводника.

Практическое значение

Знание температурной зависимости концентрации носителей критически важно при проектировании полупроводниковых приборов: транзисторов, диодов, интегральных схем.

• В силовой электронике необходимо учитывать снижение эффективности при нагреве, вызванное ростом собственной проводимости.
• В датчиках температуры эффект экспоненциального роста используется для построения чувствительных сенсоров.
• В оптоэлектронике важно учитывать температурный сдвиг уровня Ферми и изменение концентрации носителей, влияющее на спектр излучения светодиодов и лазеров.