Уравнение непрерывности

Уравнение непрерывности является одним из фундаментальных соотношений физики полупроводников. Оно описывает закон сохранения числа носителей заряда — электронов и дырок — при учёте всех процессов генерации, рекомбинации и транспорта. Это уравнение связывает пространственно-временное распределение концентрации носителей с их движением под действием электрических полей, градиентов концентрации и внешних воздействий.

Физический смысл уравнения

Суть уравнения непрерывности заключается в том, что изменение концентрации носителей в определённом объёме за счёт их притока и оттока через границы этого объёма должно быть уравновешено генерационно-рекомбинационными процессами внутри него.

Можно рассматривать небольшой элементарный объём полупроводника. В этом объёме число носителей изменяется по двум причинам:

  1. Транспортные процессы — дрейф под действием электрического поля и диффузия вследствие неравномерности распределения.
  2. Внутренние процессы — тепловая и оптическая генерация пар электрон-дырка, рекомбинация носителей через ловушки или в результате радиационных и безызлучательных процессов.

Математическая форма уравнения

Для электронов уравнение непрерывности записывается в виде:

$$ \frac{\partial n}{\partial t} = \frac{1}{q}\nabla \cdot \vec{J}_n + G_n - R_n, $$

где

  • n — концентрация электронов в зоне проводимости,
  • q — заряд электрона,
  • J⃗n — плотность тока электронов,
  • Gn — скорость генерации электронов,
  • Rn — скорость рекомбинации электронов.

Аналогично для дырок:

$$ \frac{\partial p}{\partial t} = -\frac{1}{q}\nabla \cdot \vec{J}_p + G_p - R_p, $$

где

  • p — концентрация дырок,
  • J⃗p — плотность тока дырок,
  • Gp и Rp — скорости генерации и рекомбинации дырок.

Знак перед дивергенцией тока различается для электронов и дырок в силу их противоположных зарядов.

Учет токов дрейфа и диффузии

Плотности токов электронов и дырок выражаются через дрейфовую и диффузионную составляющие:

J⃗n = qnμnE⃗ + qDn∇n,

J⃗p = qpμpE⃗ − qDp∇p,

где

  • μn, μp — подвижности электронов и дырок,
  • Dn, Dp — коэффициенты диффузии,
  • E⃗ — напряжённость электрического поля.

Подстановка этих выражений в уравнение непрерывности позволяет связать локальную динамику носителей с макроскопическими параметрами переноса.

Генерационно-рекомбинационные члены

Члены G и R зависят от конкретного механизма генерации и рекомбинации. Основные процессы:

  • Тепловая генерация: образование пар электрон-дырка за счёт тепловых колебаний решётки.

  • Оптическая генерация: возбуждение носителей под действием фотонов.

  • Ударная ионизация: появление дополнительных носителей при сильном электрическом поле.

  • Рекомбинация:

    • радиационная (излучательная),
    • безызлучательная (многофононные процессы),
    • рекомбинация через ловушки (Шокли–Рида–Холла).

Скорость рекомбинации может быть аппроксимирована как:

$$ R = \frac{\Delta n}{\tau_n} + \frac{\Delta p}{\tau_p}, $$

где τn и τp — времена жизни электронов и дырок.

Уравнение непрерывности в стационарных условиях

В стационарном режиме (∂n/∂t = 0, ∂p/∂t = 0) уравнение упрощается:

$$ \frac{1}{q}\nabla \cdot \vec{J}_n + G_n - R_n = 0, $$

$$ -\frac{1}{q}\nabla \cdot \vec{J}_p + G_p - R_p = 0. $$

Это соотношение часто используется при анализе работы полупроводниковых приборов, таких как диоды, транзисторы и солнечные элементы.

Применение уравнения непрерывности

  1. p–n переходы: расчёт распределения избыточных носителей и анализ инжекции через границу.
  2. Фотоприёмники и солнечные элементы: определение квантовой эффективности, распределения фотогенерированных носителей и их времени жизни.
  3. Транзисторы: оценка динамических характеристик и быстродействия.
  4. Термоэлектрические приборы: учёт баланса между тепловой генерацией и токами переноса.

Уравнение непрерывности в совокупности с уравнением Пуассона и уравнениями тока образует систему, лежащую в основе моделирования всех полупроводниковых приборов.

Оглавление