Вырожденные и невырожденные полупроводники

Основные определения

Полупроводники подразделяются на невырожденные и вырожденные в зависимости от положения уровня Ферми относительно краев зон и характера распределения носителей заряда.

  • Невырожденные полупроводники – это полупроводники, в которых концентрация носителей заряда относительно мала, и статистика Ферми–Дирака может быть приближена классической статистикой Максвелла–Больцмана. В этом случае уровень Ферми располагается внутри запрещенной зоны, на расстоянии нескольких kT от края зоны проводимости или валентной зоны.

  • Вырожденные полупроводники – это полупроводники с очень высокой концентрацией носителей, сопоставимой или превышающей характерную плотность состояний в зоне (Nc для электронов, Nv для дырок). Уровень Ферми в таких материалах может находиться внутри зоны проводимости (для n-типа) или внутри валентной зоны (для p-типа). Вырождение означает, что носители подчиняются строго статистике Ферми–Дирака, и приближение Максвелла–Больцмана становится неприемлемым.

Уровень Ферми и характер распределения

В невырожденных полупроводниках вероятность заполнения состояния вблизи дна зоны проводимости мала:

$$ f(E_c) \ll 1, \quad f(E) \approx \exp\left(-\frac{E - E_F}{kT}\right). $$

Здесь можно использовать экспоненциальное приближение, и концентрация электронов в зоне проводимости выражается через эффективную плотность состояний:

$$ n = N_c \exp\left(-\frac{E_c - E_F}{kT}\right), $$

а концентрация дырок:

$$ p = N_v \exp\left(-\frac{E_F - E_v}{kT}\right). $$

В вырожденном случае вероятность заполнения вблизи уровня Ферми не мала, и статистика Ферми–Дирака должна учитываться полностью:

$$ f(E) = \frac{1}{1 + \exp\left(\frac{E - E_F}{kT}\right)}. $$

Тогда концентрация электронов в зоне проводимости определяется интегралом:

n = ∫Ec∞gc(E)f(E) dE,

где gc(E) – плотность состояний в зоне проводимости. Аналогично для дырок:

p = ∫−∞Evgv(E)[1 − f(E)] dE.

Условие вырождения

Критерием вырождения является сравнение расстояния между уровнем Ферми и краем зоны с тепловой энергией:

Ec − EF ≲ 3kT  (для n-типа),

EF − Ev ≲ 3kT  (для p-типа).

Если это условие выполняется, полупроводник считается вырожденным.

Концентрация носителей и критическая область

Для невырожденного случая концентрация носителей прямо пропорциональна экспоненте от уровня Ферми. При увеличении концентрации легирующих примесей уровень Ферми постепенно смещается к зоне проводимости (или валентной зоне). При определённой критической концентрации доноров ND (или акцепторов NA) уровень Ферми входит внутрь зоны.

Критическая концентрация зависит от температуры и эффективной плотности состояний:

$$ N_{D, \text{кр}} \sim N_c \exp\left(-\frac{E_c - E_F}{kT}\right). $$

При превышении этой концентрации возникает вырождение.

Отличительные свойства

  1. Температурная зависимость проводимости

    • В невырожденных полупроводниках проводимость резко зависит от температуры: при росте температуры увеличивается число термически возбуждённых носителей.
    • В вырожденных полупроводниках концентрация носителей практически не зависит от температуры, так как они определяются в основном уровнем легирования.

  2. Подвижность носителей

    • В невырожденных полупроводниках основное влияние на подвижность оказывают процессы рассеяния на фононах.
    • В вырожденных полупроводниках значительную роль играет рассеяние на ионных примесях и кулоновские взаимодействия из-за высокой концентрации носителей.

  3. Оптические свойства В вырожденных полупроводниках возможен сдвиг краев поглощения (эффект Бурштейна–Мосса), когда заполненные уровни в зоне проводимости препятствуют переходам электронов с валентной зоны на низшие энергетические уровни зоны проводимости.

  4. Применение

    • Невырожденные полупроводники характерны для большинства электронных устройств, где требуется управляемая проводимость.
    • Вырожденные полупроводники фактически ведут себя как металлы и используются в качестве сильно легированных контактов, в термоэлектрических материалах и прозрачных электродах.

Связь с металлами и изоляторами

Вырожденные полупроводники по своим свойствам приближаются к металлам, так как уровень Ферми находится внутри зоны. Однако, в отличие от металлов, их электронные свойства можно регулировать легированием и изменением концентрации носителей. Невырожденные полупроводники занимают промежуточное положение между изоляторами и металлами, проявляя экспоненциальную зависимость концентрации носителей от температуры.

Оглавление