Зонная теория твердых тел

Зонная теория твёрдых тел основывается на квантово-механическом рассмотрении движения электронов в периодическом поле кристаллической решётки. В отличие от модели свободных электронов, где электроны рассматриваются как частицы, движущиеся в потенциале безбарьерного пространства, в реальном кристалле электростатический потенциал ионов изменяется периодически. Это приводит к возникновению энергетических зон и запрещённых промежутков.

Ключевой идеей является то, что разрешённые энергетические состояния электронов в кристалле не являются дискретными, как в атомах, а образуют зоны, разделённые запрещёнными областями. Такая структура энергетического спектра определяет электрические, оптические и тепловые свойства твёрдого тела.

Формирование энергетических зон

При образовании кристалла атомные орбитали перекрываются. В результате:

  • при малом числе атомов происходит расщепление энергетических уровней;
  • при большом числе атомов (порядка 1023) уровни образуют квазинепрерывные энергетические зоны;
  • промежутки между зонами становятся запрещёнными зонами (энергетическими щелями), в которых электронные состояния отсутствуют.

Энергетические зоны можно классифицировать следующим образом:

  • валентная зона – зона, заполненная электронами при T = 0;
  • зона проводимости – следующая по энергии зона, которая при нагревании или внешнем воздействии может быть частично заполнена электронами;
  • запрещённая зона – энергетический интервал между валентной зоной и зоной проводимости.

Различия между металлами, диэлектриками и полупроводниками

  1. Металлы

    • Валентная зона перекрывается с зоной проводимости.
    • Электроны могут свободно переходить между зонами даже при низких температурах.
    • Высокая электропроводность, слабо зависящая от температуры.

  2. Диэлектрики

    • Ширина запрещённой зоны Eg > 3 эВ.
    • При обычных условиях электроны не могут перейти из валентной зоны в зону проводимости.
    • Электропроводность практически отсутствует.

  3. Полупроводники

    • Ширина запрещённой зоны Eg ∼ 0.1 − 3 эВ.
    • При повышении температуры или освещении часть электронов переходит в зону проводимости, что делает возможной регулируемую проводимость.
    • Свойства сильно зависят от температуры и примесей.

Квантово-механическое объяснение

В основе зонной теории лежит теорема Блоха, утверждающая, что электронные волновые функции в периодическом потенциале кристалла имеют вид:

ψk(r) = uk(r)eikr,

где uk(r) – функция с периодом решётки, а k – волновой вектор.

Рассмотрение уравнения Шрёдингера с периодическим потенциалом приводит к тому, что при некоторых значениях k решения отсутствуют. Это соответствует запрещённым зонам.

Эффективная масса электронов

Для описания движения электронов в кристалле вводится понятие эффективной массы. Она учитывает влияние кристаллического потенциала на динамику носителей:

$$ m^{*} = \hbar^{2} \left( \frac{d^{2}E}{dk^{2}} \right)^{-1}. $$

  • Вблизи дна зоны проводимости электроны ведут себя как квазисвободные частицы с положительной эффективной массой.
  • В верхней части валентной зоны дырки могут рассматриваться как частицы с положительным зарядом и положительной эффективной массой.

Прямая и непрямая запрещённая зона

Полупроводники подразделяются на два типа:

  • с прямой запрещённой зоной – минимум зоны проводимости и максимум валентной зоны находятся при одном и том же значении волнового вектора k. Такие материалы (например, GaAs) эффективны в оптоэлектронике, так как переходы сопровождаются излучением фотонов.

  • с непрямой запрещённой зоной – минимум и максимум находятся при разных значениях k. Для перехода требуется участие фононов. Кремний и германий относятся к этому типу, что делает их менее эффективными в излучательных процессах.

Роль зонной структуры в свойствах полупроводников

Зонная теория позволяет объяснить:

  • температурную зависимость электропроводности;
  • поведение полупроводников при легировании донорными и акцепторными примесями;
  • оптические явления – поглощение и излучение света;
  • термоэлектрические и фотоэлектрические эффекты.

Кроме того, анализ зонной структуры даёт возможность прогнозировать свойства новых материалов и управлять их характеристиками для создания полупроводниковых приборов.

Оглавление