Аномальная диффузия — это явление, при котором процесс переноса частиц в среде не подчиняется классическому закону Броуновского движения и линейной зависимости среднеквадратичного смещения (MSD, mean squared displacement) от времени. В стандартной диффузии для свободного броуновского движения выполняется соотношение:
⟨x2(t)⟩ ∝ t,
где ⟨x2(t)⟩ — среднеквадратичное смещение частицы в момент времени t.
В аномальной диффузии эта зависимость становится степенной:
⟨x2(t)⟩ ∝ tα,
где α ≠ 1 — показатель аномалии. В зависимости от значения α различают два типа аномальной диффузии:
1. Длинные временные корреляции (память системы) В средах с памятью движения частицы зависимость её траектории от прошлых состояний приводит к фракционному броуновскому движению (FBM). Характеристика FBM описывается корреляционной функцией:
⟨x(t)x(s)⟩ ∼ tα + sα − |t − s|α.
Эта модель учитывает длинновременные зависимости между шагами частицы, что типично для вязкоупругих сред.
2. Случайные блуждания с тяжелыми хвостами распределения (Lévy-полета) Когда шаги частицы подчиняются распределению с тяжелыми хвостами (например, распределение Леви), вероятность крупных скачков велика. Тогда среднеквадратичное смещение формально может расходиться, и траектории частиц содержат редкие, но крупные перемещения. Это характерно для движения животных при поиске пищи или для транспорта в турбулентных потоках.
3. Ограниченные среды и ловушки В субдиффузионных системах частица может временно “застревать” в ловушках или кластерах, что приводит к задержкам. Статистическая модель таких процессов часто описывается как Continuous Time Random Walk (CTRW):
⟨x2(t)⟩ ∼ tα, 0 < α < 1,
где случайные времена ожидания имеют распределение с тяжелым хвостом.
1. Фракционное дифференциальное уравнение (FDE) Классическое уравнение диффузии заменяется фракционным:
$$ \frac{\partial^\alpha P(x,t)}{\partial t^\alpha} = D_\alpha \frac{\partial^2 P(x,t)}{\partial x^2}, $$
где P(x, t) — вероятность нахождения частицы в позиции x в момент времени t, ∂α/∂tα — производная дробного порядка по времени, Dα — обобщенный коэффициент диффузии.
2. Модели Леви-полета Для супердиффузии часто используют распределение Леви:
P(x) ∼ |x|−1 − μ, 0 < μ < 2.
Это приводит к сильным флуктуациям в перемещениях частиц и аномальной скорости распространения.
3. Фракционное уравнение Фоккера–Планка Обобщает классический подход для систем с памятью и тяжелыми хвостами распределений:
$$ \frac{\partial P(x,t)}{\partial t} = D \frac{\partial^{2\beta} P(x,t)}{\partial |x|^{2\beta}}, $$
где β — фракционный порядок по пространству. Такой подход позволяет описывать пространственную аномалию.
1. Биологические системы Внутри клеток органеллы и белки движутся в вязкой цитоплазме, демонстрируя субдиффузию с показателем α ∼ 0.7. Это связано с сетчатой структурой цитоскелета и временными задержками при взаимодействии с белками и макромолекулами.
2. Социальные и экологические системы Супердиффузия наблюдается при миграции животных, когда движения включают длинные направленные перемещения между локальными источниками ресурсов. Леви-полета помогают оптимизировать поиск пищи.
3. Физические системы В турбулентных потоках или плазме частицы демонстрируют супердиффузию, а в пористых средах или в геле — субдиффузию. В экспериментах с микроскопией одиночных частиц легко измеряется показатель α и строятся траектории движения.