Квантовая механика многих тел

Квантовая механика многих тел рассматривает системы, состоящие из большого числа взаимодействующих частиц, таких как электроны в металлах, атомные ядра, или бозе-конденсаты. В отличие от задачи одного или двух частиц, здесь ключевое значение имеют коллективные эффекты, возникающие из взаимодействий между частицами, и корреляции, которые невозможно учесть в простых одномерных моделях.

Волновая функция системы многих частиц

Для системы из N частиц волновая функция зависит от координат всех частиц:

Ψ(r1, r2, ..., rN; t)

и удовлетворяет уравнению Шрёдингера:

$$ i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \hat{H} \Psi, $$

где гамильтониан Ĥ обычно записывается как сумма кинетической энергии частиц и взаимодействий между ними:

$$ \hat{H} = \sum_{i=1}^{N} \frac{\hat{\mathbf{p}}_i^2}{2m_i} + \sum_{i<j} V(\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j). $$

Для фермионов волновая функция должна быть антисимметричной при перестановке любых двух частиц, а для бозонов — симметричной, что отражает принцип Паули и бозе-эйнштейновскую статистику.

Статистические описания

При большом числе частиц описывать каждую частицу отдельной волновой функцией невозможно. Вводятся средние величины и плотности вероятности. Для фермионов это приводит к функции распределения Ферми-Дирака:

$$ f(\epsilon) = \frac{1}{e^{(\epsilon-\mu)/k_B T} + 1}, $$

для бозонов — к распределению Бозе-Эйнштейна:

$$ f(\epsilon) = \frac{1}{e^{(\epsilon-\mu)/k_B T} - 1}. $$

Эти распределения описывают, с какой вероятностью энергетические состояния системы заняты.

Приближения и методы

  1. Приближение независимых частиц Игнорирует корреляции между частицами, что позволяет использовать многочастичное волновое произведение:

    $$ \Psi(\mathbf{r}_1,...,\mathbf{r}_N) \approx \prod_{i=1}^N \psi_i(\mathbf{r}_i) $$

    для бозонов или детерминант Слейтера для фермионов.

  2. Теория возмущений Используется, когда взаимодействие между частицами мало, относительно кинетической энергии. Энергия и волновая функция записываются как ряд:

    E = E0 + λE1 + λ2E2 + ...

  3. Функциональные методы и теории плотности Теория функционала плотности (DFT) позволяет свести сложную задачу многих тел к задаче одного эффективного частиц, взаимодействующей через среднее поле, зависящее от плотности частиц ρ(r).

Коллективные возбуждения

В системах многих тел появляются новые, коллективные степени свободы:

  • Фононы — квантованные колебания кристаллической решётки.
  • Плазмоны — коллективные колебания электронного газа.
  • Магноны — коллективные спиновые возбуждения в ферромагнетиках.

Эти возбуждения часто описываются как квазичастицы, у которых есть эффективная энергия и импульс, но они не соответствуют одной реальной частице.

Корреляции и сильно связанные системы

В некоторых материалах, например, в высокотемпературных сверхпроводниках, взаимодействия между электронами сильные, и приближение независимых частиц оказывается неадекватным. В таких системах критично учитывать:

  • Коротко- и длиннопериодные корреляции Взаимодействия могут вызывать упорядочение спинов, зарядов или орбитальных состояний.
  • Эффекты квантовой запутанности Волновая функция частиц не разлагается на простые произведения, что требует методов, таких как матрица плотности и методы Монтекарло.

Квантовые фазовые переходы

В системах многих тел наблюдаются квантовые фазовые переходы, происходящие при нулевой температуре, когда изменение внешнего параметра (например, давления или магнитного поля) вызывает переход между различными квантовыми состояниями:

  • Металлическое → изоляторное состояние (Mott transition)
  • Нормальное → сверхпроводящее состояние
  • Парамагнитное → ферромагнитное состояние

Эти переходы часто характеризуются критическими точками, где стандартные термодинамические величины (например, теплоёмкость) проявляют сингулярное поведение.

Методы численного моделирования

Для решения уравнения Шрёдингера в системах многих тел широко применяются:

  • Методы Монте-Карло — статистическое моделирование квантовых систем.
  • DMRG (Density Matrix Renormalization Group) — эффективный метод для одномерных сильно коррелированных систем.
  • Квантовые диаграммы и теория возмущений по Грину — для изучения электронных корреляций.

Эти методы позволяют получить точные численные результаты там, где аналитические решения невозможны.

Взаимодействие с внешними полями

Системы многих тел демонстрируют сложное поведение под воздействием внешних полей:

  • Магнитные поля вызывают квантовый эффект Холла, спиновые текстуры, ферромагнитные упорядочения.
  • Электрические поля изменяют распределение зарядов и могут индуцировать сверхпроводимость.
  • Световые поля взаимодействуют с коллективными возбуждениями, вызывая эффекты типа поларитонов и оптической когерентности.

Итоговые ключевые моменты

  • Основной объект изучения — волновая функция системы многих частиц, учитывающая симметрию и корреляции.
  • Статистические распределения и квазичастицы позволяют описывать коллективные эффекты.
  • Методы приближения, функциональные подходы и численное моделирование — ключ к анализу сложных систем.
  • Коллективные возбуждения и фазовые переходы определяют физику многих реальных материалов и квантовых систем.
Оглавление