Квантовые спиновые системы представляют собой классы физических систем, в которых основной динамической переменной является спин, а не координата частицы или импульс. Спин является внутренним квантовым числом, обладающим дискретной природой, и его взаимодействие с внешними полями или с другими спинами формирует сложные коллективные явления.
Спиновые системы описываются через спиновые операторы Ŝx, Ŝy, Ŝz, удовлетворяющие коммутационным соотношениям:
[Ŝi, Ŝj] = iℏϵijkŜk,
где ϵijk — символ Леви-Чивиты, ℏ — постоянная Планка. Эти соотношения задают структуру алгебры Ли для спиновых операторов, что критически важно для понимания динамики системы.
Классическими моделями квантовых спиновых систем являются модель Изинга, модель Гейзенберга и XXZ-модель. Они позволяют описывать широкий спектр явлений, включая ферромагнетизм, антиферромагнетизм и фазовые переходы.
Модель Изинга для цепи из N спинов 1/2 в однородном магнитном поле h описывается гамильтонианом:
Ĥ = −J∑⟨i, j⟩ŜizŜjz − h∑iŜiz,
где J — константа обменного взаимодействия, а ⟨i, j⟩ обозначает суммирование по соседним спинам. В этой модели наблюдается квантовый фазовый переход при изменении отношения h/J.
Модель Гейзенберга учитывает полное векторное взаимодействие спинов:
Ĥ = −J∑⟨i, j⟩Ŝi ⋅ Ŝj.
В этой системе возникают сложные коллективные состояния, включая спиновые жидкости и магнитные упорядочения различной симметрии.
XXZ-модель является обобщением Гейзенберга с анизотропией вдоль оси z:
Ĥ = −J∑⟨i, j⟩(ŜixŜjx + ŜiyŜjy + ΔŜizŜjz),
где Δ — параметр анизотропии. При Δ > 1 система проявляет антиферромагнитный порядок вдоль оси z, а при Δ < 1 — XY-фазу с конденсацией спиновых волн.
Одной из ключевых особенностей квантовых спиновых систем является спиновая запутанность, проявляющаяся в неклассических корреляциях между различными спинами. Для двух спинов 1/2 состояние Белла:
$$ |\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|\uparrow\downarrow\rangle - |\downarrow\uparrow\rangle) $$
является примером максимально запутанного состояния.
Для многих тел критерии запутанности включают энтропию блока SA = −Tr(ρAln ρA), где ρA — редуцированная плотностная матрица подсистемы A. Вблизи квантовых фазовых переходов энтропия блока демонстрирует логарифмическую зависимость от размера подсистемы, что отражает критическую природу квантовых флуктуаций.
Коллективные возбуждения спиновой решетки описываются через магнонные квазичастицы, которые являются квазиклассическими коллективными колебаниями спинов. Для ферромагнитного упорядочения гамильтониан в линейной аппроксимации Холстайна-Прескота преобразуется в операторную форму:
Ĥ ≈ ∑kϵkak†ak,
где ak†, ak — операторы создания и уничтожения магнонов, а ϵk — спектр спиновых волн.
Спиновые волны обеспечивают перенос спинового момента и являются основой для изучения динамических свойств магнитных систем, включая теплопроводность и магнетосопротивление.
Квантовые спиновые системы демонстрируют богатую картину фазовых переходов. В отличие от термодинамических фазовых переходов, которые обусловлены тепловыми флуктуациями, квантовые фазовые переходы происходят при изменении параметров гамильтониана, таких как магнитное поле или константа обмена, при температуре T = 0.
Характеристики квантового фазового перехода включают:
Внешние магнитные поля и анизотропия существенно меняют спектр и динамику спиновой системы. Поля могут индуцировать спиновые метастабильные состояния и магнитные сдвиги энергии, а анизотропия — определять направление спинового упорядочения и структуру возбуждений.
Гамильтониан для спина S = 1/2 в анизотропном поле может быть представлен как:
Ĥ = −J∑⟨i, j⟩Ŝi ⋅ Ŝj − ∑iB ⋅ Ŝi − D∑i(Ŝiz)2,
где D — константа одноосной анизотропии. Этот гамильтониан демонстрирует сложные конкурентные эффекты, включая спиновые стекла и квантовую фрустрацию.