Основы теории турбулентности

Понятие турбулентности

Турбулентность — это сложное, хаотическое и многоуровневое движение жидкости или газа, характеризующееся непредсказуемыми вихревыми структурами и сильными пространственно-временными флуктуациями скорости и давления. Она проявляется при высоких значениях безразмерного числа Рейнольдса $Re = \frac{UL}{\nu}$, где U — характерная скорость потока, L — характерная длина, а ν — кинематическая вязкость. При Re ≪ 1 движение ламинарное, при Re ≫ 1 — турбулентное.

Ключевая особенность турбулентности — перенос энергии через широкий диапазон масштабов: от больших, энергетических структур, до малых, где энергия диссипируется вязкостью. Этот процесс известен как каскад энергии.

Уравнения движения и нелинейность

Основным инструментом описания турбулентного потока являются уравнения Навье–Стокса для несжимаемой жидкости:

$$ \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \nu \nabla^2 \mathbf{u}, \quad \nabla \cdot \mathbf{u} = 0 $$

где u(x, t) — вектор скорости, p(x, t) — давление, ρ — плотность, ν — кинематическая вязкость.

Нелинейность уравнений (u ⋅ ∇)u ответственна за взаимодействие вихрей и генерацию сложной структуры потока. Именно эта нелинейность делает турбулентность практически непредсказуемой и требующей статистического подхода.

Статистическое описание турбулентности

Из-за хаотического характера потоков прямое решение уравнений Навье–Стокса крайне затруднительно. Поэтому используется статистический подход. Основные статистические характеристики:

  1. Средняя скорость

    $$ \overline{\mathbf{u}}(\mathbf{x}) = \lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \int_0^T \mathbf{u}(\mathbf{x},t) dt $$

  2. Флуктуации скорости $\mathbf{u}' = \mathbf{u} - \overline{\mathbf{u}}$, характеризующие отклонения от среднего.

  3. Тензор напряжений Рейнольдса

    $$ R_{ij} = \overline{u'_i u'_j} $$

    Этот тензор появляется при усреднении уравнений Навье–Стокса и отражает влияние турбулентных флуктуаций на перенос импульса.

  4. Функции корреляции

    $$ R_{uu}(r) = \overline{u(x) u(x+r)} $$

    Позволяют изучать пространственное распределение вихрей.

Энергетический каскад

Людвиг П. Колмогоров (1941) предложил фундаментальную концепцию каскада энергии, которая объясняет перенос кинетической энергии в турбулентном потоке. Основные положения:

  • Энергия вводится в поток на больших масштабах L.
  • Через нелинейные взаимодействия энергия последовательно передается на меньшие масштабы.
  • На малых масштабах η (масштабы Колмогорова) энергия рассеивается вязкостью в тепло.

Классическое выражение для спектра энергии в инерциальной области:

E(k) = Cε2/3k−5/3

где E(k) — энергетический спектр при волновом числе k, ε — средняя скорость диссипации энергии, C ∼ 1.5 — константа Колмогорова.

Моделирование турбулентных потоков

Понимание и предсказание турбулентности требует численных методов:

  1. DNS (Direct Numerical Simulation) — полное решение уравнений Навье–Стокса без моделей турбулентности. Ограничено малыми масштабами и низкими числами Рейнольдса из-за огромной вычислительной нагрузки.

  2. LES (Large Eddy Simulation) — разрешение крупных вихрей, малые масштабы моделируются субрешеточной моделью.

  3. RANS (Reynolds-Averaged Navier–Stokes) — усреднение по времени, модели турбулентности описывают тензор Рейнольдса через турбулентную вязкость.

Вихревые структуры и анизотропия

Турбулентные потоки характеризуются многоуровневыми вихревыми структурами:

  • Барьеры и трубки вихрей — локальные концентрированные вращения, сохраняющие структуру в течение определённого времени.
  • Анизотропия малых масштабов — приближение к изотропной турбулентности выполняется лишь на мелких масштабах, тогда как большие структуры зависят от геометрии и условий потока.

Принципы масштабной теории

Турбулентность подчиняется явной иерархии масштабов:

L ≫ ℓ ≫ η

  • L — характерный масштаб энергии (инжекция энергии).
  • ℓ — промежуточные, инерциальные масштабы.
  • η = (ν3/ε)1/4 — диссипативный масштаб Колмогорова.

В инерциальной подзоне энергия переносится без диссипации, что позволяет использовать универсальные законы для статистики потока.

Турбулентная диффузия и транспорт

Турбулентные потоки обладают высокой эффективной диффузией, значительно превышающей молекулярную. Для скалярных полей (температура, концентрация) справедливо приближённое выражение:

$$ \frac{\partial \phi}{\partial t} + \overline{\mathbf{u}} \cdot \nabla \phi = \nabla \cdot (\nu_t \nabla \phi) $$

где νt — турбулентная вязкость, характеризующая эффективность смешивания. Это объясняет ускоренный транспорт массы и тепла в атмосфере, океанах и промышленных потоках.

Основные экспериментальные наблюдения

  • Законы самоподобия: распределение флуктуаций скорости демонстрирует масштабную инвариантность в инерциальной подзоне.
  • Интермиттентность: интенсивность турбулентных вихрей сильно локализована, что приводит к отклонениям от нормального распределения флуктуаций.
  • Влияние границ и геометрии: формирование слоёв сдвига, турбулентных границ, вихревых колец и зон рекуперации энергии.
Оглавление