Ренормализационная группа (РГ) является фундаментальным инструментом анализа физических систем, обладающих множеством масштабов. В физике сложных систем она применяется для выявления универсальных свойств и характерных масштабов, особенно вблизи критических точек фазовых переходов. Метод РГ позволяет понять, как поведение системы изменяется при изменении масштаба наблюдения и как микроскопические взаимодействия влияют на макроскопические характеристики.
Ренормализация строится на операции масштабного усреднения, или «коarse-graining». Для системы, описываемой полем ϕ(x), шаги обычно включают:
Эта последовательность шагов повторяется, создавая поток РГ в пространстве параметров теории.
Ключевым понятием является фиксированная точка РГ, где параметры теории не изменяются при масштабной трансформации:
β(g*) = 0,
где g* — фиксированное значение параметра взаимодействия, а β(g) — функция бета, описывающая изменение параметра при изменении масштаба.
Фиксированные точки классифицируются как:
Критические показатели, такие как α, β, γ, ν, выражаются через линейные отклонения от фиксированной точки. Например, для корреляционной длины ξ:
$$ \xi \sim |t|^{-\nu}, \quad t = \frac{T - T_c}{T_c}. $$
Здесь ν определяется как обратная величина наибольшего положительного собственного значения матрицы линейного расширения потока РГ около фиксированной точки.
В статистической физике метод РГ применяется к моделям Изинга, XY и Поттса, а также к жидкостям и полимерным системам. Основные шаги:
В квантовой теории поля (КТП) РГ используется для устранения ультрафиолетовых расходимостей и анализа поведения констант взаимодействия при изменении энергии:
$$ \mu \frac{dg}{d\mu} = \beta(g), $$
где μ — масштаб энергии.
Один из центральных результатов применения РГ — универсальность критических явлений. Несмотря на различие микроскопических деталей систем, потоки РГ стремятся к одним и тем же фиксированным точкам, определяя идентичные критические показатели. Это объясняет наблюдаемое сходство фазовых переходов в различных веществах.
Кроме того, РГ позволяет описывать мультифрактальные структуры и сложные распределения вероятностей в системах с самоподобием на разных масштабах.
Для пространств близких к верхней критической размерности dc используется ϵ-расширение:
d = dc − ϵ,
что позволяет проводить разложение в малом параметре ϵ и вычислять критические показатели аналитически. Например, для модели Изинга dc = 4, и критические показатели в d = 4 − ϵ выражаются через ϵ:
$$ \nu = \frac{1}{2} + \frac{\epsilon}{12} + O(\epsilon^2), \quad \eta = \frac{\epsilon^2}{54} + O(\epsilon^3). $$
Этот метод позволяет получить точные аналитические результаты вблизи критической размерности и сопоставить их с численными симуляциями в реальных размерностях.
Для многопараметрических теорий поток РГ описывается системой уравнений:
$$ \frac{dg_i}{d\ln b} = \beta_i(g_1, g_2, \dots, g_n), \quad i=1,\dots,n. $$
Линеаризация около фиксированной точки g* дает матрицу стабильности Mij = ∂βi/∂gj|g = g*. Ее собственные значения λi определяют тип фиксированной точки и важнейшие масштабы корреляции: