Ренормализационная группа в теории фазовых переходов

Ренормализационная группа (РГ) является фундаментальным инструментом в современной физике сложных систем и теории фазовых переходов. Она позволяет исследовать поведение систем вблизи критических точек, где классические методы статистической физики оказываются недостаточными из-за возникновения длинноволновых флуктуаций и масштабной инвариантности.

Критические явления и масштабная инвариантность

Критические явления характеризуются следующими особенностями:

Дивергенция корреляционной длины ξ → ∞ при подходе к критической температуре T_c.
Самоподобие системы на различных масштабах, что проявляется в степенных законах для физических величин, таких как теплоёмкость, магнитная восприимчивость и плотность энергии.
Отсутствие характерного масштаба приводит к универсальности критических показателей, которые не зависят от микроскопических деталей системы.

Для описания этих явлений необходимо учитывать флуктуации всех масштабов, что делает стандартный подход среднего поля неполным. Здесь на помощь приходит ренормализационная группа.

Основная идея ренормализации

Идея РГ заключается в последовательном усреднении микроскопических степеней свободы на коротких масштабах, с последующим пересчётом параметров теории на более крупные масштабы. Формально процесс включает следующие шаги:

Разделение мод на быстрые и медленные: флуктуации с длиной волны меньше некоторого отсечного параметра Λ интегрируются.
Рескалирование длины и полей: после интегрирования производится масштабное преобразование координат r′ = br и пересчет полей ϕ′(r′) = b^Δ_ϕϕ(r).
Получение новых параметров теории: коэффициенты в гамильтониане или функционале свободной энергии изменяются, образуя поток РГ.

Повторение этих шагов позволяет следить за поведением системы при увеличении масштаба.

Формализация через функционал Гамильтона

Для конкретики рассмотрим гамильтониан Изинга в виде функционала Ландау:

$$ \mathcal{H}[\phi] = \int d^d x \left[ \frac{1}{2} (\nabla \phi)^2 + \frac{r}{2} \phi^2 + \frac{u}{4!} \phi^4 \right], $$

где ϕ(x) — поле порядка, r ∼ T − T_c, u > 0 — коэффициент самовзаимодействия.

Применяя процедуру РГ, можно получить уравнения потока для параметров r и u:

$$ \begin{aligned} \frac{dr}{d\ell} &= 2 r - \frac{n+2}{3} u \, I_d(r), \\ \frac{du}{d\ell} &= \epsilon u - \frac{n+8}{3} u^2 \, J_d(r), \end{aligned} $$

где ℓ = ln b — параметр масштаба, ϵ = 4 − d, а I_d и J_d — интегралы по усреднённым флуктуациям.

Фиксированные точки и критические показатели

Фиксированные точки РГ определяются условием:

$$ \frac{dr}{d\ell} = 0, \quad \frac{du}{d\ell} = 0. $$

Гауссовская точка: u^* = 0, соответствует теории без флуктуаций.
Нонтривиальная фиксированная точка (u^* ≠ 0) возникает при d < 4 и описывает реальные критические явления.

Линеаризация уравнений РГ около фиксированной точки позволяет вычислить критические показатели. Например, корреляционная длина ξ масштабируется как:

$$ \xi \sim |T-T_c|^{-\nu}, \quad \nu = \frac{1}{2} + \frac{(n+2)}{4(n+8)} \epsilon + \mathcal{O}(\epsilon^2), $$

что показывает, как РГ даёт точные предсказания для степенных законов.

Универсальность и классы универсальности

РГ объясняет универсальность критических явлений: системы с различной микроскопической структурой, но одинаковой симметрией поля порядка и размерностью пространства, принадлежат к одному классу универсальности. Класс определяется:

размерностью пространства d,
размерностью поля порядка n,
симметрией взаимодействия.

Классические примеры: Изинг (n = 1), XY-модель (n = 2), гелиевая модель (n = 3).

Роль ренормализационной группы в современной физике

РГ не ограничивается только теориями Изинга или Ландау. Её методы применимы к:

квантовым фазовым переходам,
турбулентности и конформным теориям поля,
физике сверхпроводимости и критическим явлениям в жидкостях.

РГ обеспечивает систематический подход к проблемам, где флуктуации на всех масштабах играют ключевую роль, и открывает путь к предсказанию новых критических показателей и к объяснению универсальности наблюдаемых явлений.