Турбулентность — это сложное нелинейное явление в гидродинамике, характеризующееся хаотическим движением жидкости или газа, интенсивным перемешиванием и широким спектром пространственных и временных масштабов. Обычные детерминированные методы решения уравнений Навье–Стокса в турбулентном режиме практически бесполезны из-за сильной чувствительности к начальным условиям. Поэтому для анализа турбулентного потока применяется статистический подход, в котором основной интерес представляют усреднённые величины и корреляционные функции.
Базой статистической теории турбулентности служат уравнения Навье–Стокса для несжимаемой жидкости:
$$ \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \nu \nabla^2 \mathbf{u}, \quad \nabla \cdot \mathbf{u} = 0, $$
где u(x, t) — скорость, p(x, t) — давление, ρ — плотность, ν — кинематическая вязкость.
Для статистического анализа вводится разложение Рейнольдса:
$$ \mathbf{u}(\mathbf{x},t) = \overline{\mathbf{u}}(\mathbf{x}) + \mathbf{u}'(\mathbf{x},t), $$
где $\overline{\mathbf{u}}$ — усреднённая скорость, а u′ — флуктуационная составляющая. Подставляя это в уравнения Навье–Стокса и усредняя, получаем уравнения Рейнольдса:
$$ \overline{\mathbf{u}} \cdot \nabla \overline{\mathbf{u}} = -\frac{1}{\rho}\nabla \overline{p} + \nu \nabla^2 \overline{\mathbf{u}} - \nabla \cdot \overline{\mathbf{u}' \mathbf{u}'}. $$
Ключевой момент: появляется тензор Рейнольдсовых напряжений $\overline{u_i' u_j'}$, который описывает перенос импульса за счёт турбулентных флуктуаций. Именно он является основной неизвестной в статистической теории турбулентности, и закрытие уравнений требует моделирования этого терма.
Важнейшим понятием турбулентности является каскад кинетической энергии. Для стационарной, изотропной турбулентности справедлива энергия-функция корреляции и спектральная плотность энергии E(k), где k — волновое число. В инертной подзоне (между масштабами возбуждения L и диссипативным масштабом η) энергия переносится без потерь, что описывается законом Колмогорова:
E(k) = CKε2/3k−5/3,
где ε — средняя скорость диссипации энергии на единицу массы, а CK ∼ 1.5 — универсальная константа.
Ключевые моменты:
Для количественного описания турбулентности вводятся статистические функции:
Rij(r) = ⟨ui(x)uj(x + r)⟩,
которая показывает, как скорости в двух точках связаны между собой.
$$ S_p(r) = \langle [(\mathbf{u}(\mathbf{x}+\mathbf{r}) - \mathbf{u}(\mathbf{x})) \cdot \hat{\mathbf{r}}]^p \rangle, $$
где p — порядок функции. В турбулентности высоких Рейнольдсов структурные функции демонстрируют самоподобие и мультифрактальность флуктуаций.
$$ R_{ii}(\mathbf{r}) = \int_0^\infty E(k) \frac{\sin kr}{kr} \, dk. $$
Статистическая теория турбулентности сталкивается с проблемой замыкания: уравнения Рейнольдса содержат больше неизвестных, чем уравнений. Существуют основные подходы:
$$ \overline{u_i' u_j'} = -\nu_T \left(\frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_j} + \frac{\partial \overline{u_j}}{\partial x_i} \right), $$
где νT — турбулентная вязкость.
Модели второго порядка (k–ε, k–ω) — решают уравнения для кинетической энергии турбулентности k и её диссипации ε или частоты ω.
Статистический подход Колмогорова–Батча — описывает малые масштабы турбулентности через вероятностные распределения и универсальные функции.
Реальные потоки редко бывают полностью изотропными и стационарными. Для таких потоков вводятся: