Механические системы, такие как колебательные решётки, метаматериалы и макроскопические упругие среды, способны воспроизводить свойства, которые в квантовой физике связываются с топологическими состояниями вещества. Простейший аргумент состоит в том, что квантовые уравнения, описывающие распространение электронов в потенциале, и уравнения механики сплошных сред, описывающие колебания и распространение упругих волн, обладают аналогичной математической структурой. Это позволяет перенести концепции топологических инвариантов, краевых мод и фазовых переходов из области квантовой теории в чисто классические системы.
Колебательные системы подчиняются второму закону Ньютона, приводящему к уравнениям вида
$$ M \ddot{u} + K u = 0, $$
где M – матрица масс, K – матрица жёсткостей, u – вектор смещений. После преобразования Фурье по времени это уравнение приобретает вид
(K − ω2M)u = 0.
Структурно оно идентично задаче нахождения собственных значений для гамильтониана в квантовой механике:
Hψ = Eψ.
Таким образом, матрица D = M−1K играет роль эффективного гамильтониана, а собственные частоты ω — аналог энергий электронов. Эта аналогия позволяет применять методы топологической теории полос, включая вычисление топологических инвариантов, анализ защищённых краевых мод и классификацию фаз.
Одним из наиболее значимых открытий является демонстрация топологически защищённых механических краевых состояний. В таких системах колебательные моды могут локализоваться на краях или границах образца и быть устойчивыми к локальным возмущениям и дефектам. Это отражает ключевой принцип: топология определяется глобальными свойствами системы, которые не изменяются при плавной деформации.
Механические аналоги квантовых топологических изоляторов реализуются, например, в метаматериалах, где пространственная геометрия соединений (расположение пружин и масс, узлов и балок) играет роль, аналогичную орбитальному взаимодействию или спин-орбитальной связи в квантовых системах.
Классическая модель Сю–Шриффера–Хиггса (SSH), описывающая один из простейших квантовых топологических изоляторов, была успешно воспроизведена в механических системах. В этом случае одномерная цепочка масс и пружин, где чередуются сильные и слабые связи, демонстрирует аналог топологического фазового перехода:
Эти состояния остаются устойчивыми даже при наличии дефектов в середине цепочки.
Фононные кристаллы, состоящие из периодических упругих структур, образуют спектры колебаний с запрещёнными зонами (фононными щелями), аналогичными электронным зонным структурам. В таких системах могут появляться топологические краевые моды, распространяющиеся вдоль границы без обратного рассеяния. Эти моды аналогичны электронным состояниям на границах топологических изоляторов, но теперь они реализуются для упругих волн.
Для воспроизведения эффектов, аналогичных спин-орбитальному взаимодействию, в механике используют структурные асимметрии или специальные схемы связей, которые разделяют колебательные моды по симметрии. Например, можно создать «псевдоспин» как комбинацию двух ортогональных мод в резонаторах. Тогда система поддерживает аналоги квантовых спин-холловских изоляторов: механические волны распространяются вдоль краёв только в определённых направлениях, оставаясь топологически защищёнными.
В механике можно наблюдать и более сложные явления. Хиральные структуры обеспечивают аналог аномального квантового эффекта Холла, когда колебания распространяются вдоль края в одном направлении. Нелинейные элементы (например, упругие связи с зависимой от амплитуды жёсткостью) позволяют реализовать аналоги нелинейных топологических эффектов, где амплитуда колебаний играет роль управляющего параметра фазы.
Механические аналоги квантовых топологических состояний обладают не только академической ценностью как физические модели, но и практическим потенциалом. Возможные направления:
Таким образом, механические системы становятся важной экспериментальной платформой для исследования топологии в физике, объединяя концепции квантовой теории твёрдого тела и классической механики в рамках единого подхода.