Теория функционала плотности для топологических систем

Теория функционала плотности (ТФП) является краеугольным камнем современного описания электронных систем. В контексте топологических состояний вещества она позволяет описывать коллективные электронные свойства, включая квантованные отклики и топологические инварианты, без необходимости полного решения задачи многих тел.

В традиционной ТФП ключевым объектом является функционал энергии E[ρ(r)], зависящий от электронной плотности ρ(r). Для топологических систем функционал расширяется для учета спин-орбитальных взаимодействий, наличия краевых состояний и топологической структуры банд.

Функционалы энергии в топологических изоляторах

Энергия электронной системы в рамках ТФП может быть представлена как:

E[ρ] = Ts[ρ] + Eext[ρ] + EH[ρ] + Exc[ρ] + Etopo[ρ],

где:

  • Ts[ρ] — кинетическая энергия неспаренной системы;
  • Eext[ρ] — взаимодействие с внешними потенциалами;
  • EH[ρ] — кулоновская энергия;
  • Exc[ρ] — обменно-корреляционный функционал;
  • Etopo[ρ] — топологический вклад, учитывающий краевые состояния и квантованные топологические инварианты.

Ключевой момент: стандартные обменно-корреляционные функционалы часто не способны корректно описывать топологические эффекты, что требует введения модифицированных или не локальных функционалов, учитывающих спин-орбитальные взаимодействия и симметрии системы.

Спин-орбитальные функционалы

Для топологических изоляторов и топологических полуметаллов спин-орбитальные эффекты играют критическую роль. В ТФП они вводятся через расширенные функционалы плотности:

ESO[ρ, s] = ∫dr λ(r) L ⋅ S ρ(r),

где s(r) — спиновая плотность, λ(r) — локальный коэффициент спин-орбитального взаимодействия.

Практический результат: такие функционалы позволяют предсказывать наличие топологических краевых состояний, а также спин-текстуры на поверхности материала.

Краевые состояния и плотность

В топологических системах ключевую роль играют краевые состояния, которые проявляются в локальной плотности электронов на границе материала. В рамках ТФП локальная плотность может быть разложена на объемную и краевую составляющие:

ρ(r) = ρbulk(r) + ρedge(r),

где ρedge(r) проявляет экспоненциальное затухание вглубь объема. Для вычисления ρedge(r) используют модифицированные градиентные функционалы или функционалы с не локальными коррекциями.

Ключевой момент: краевые состояния обеспечивают устойчивость топологических свойств, включая квантованные транспорты, и играют центральную роль в экспериментальных наблюдениях топологических инвариантов.

Топологические инварианты в ТФП

Топологические свойства системы характеризуются инвариантами, которые могут быть выражены через плотность и функционалы. Наиболее часто рассматриваются:

  1. Число Черна (Chern number) для 2D-топологических изоляторов:

$$ C = \frac{1}{2\pi} \int_{\text{BZ}} d^2k \, \Omega(k), $$

где Ω(k) — кривизна Берри, которая может быть выражена через функционал плотности и волновые функции Кohn–Шама.

  1. Z2-инвариант для систем с временной симметрией: вычисляется через спиновые плотности и спин-орбитальные функционалы.

Практическое применение: расчет топологических инвариантов через ТФП позволяет идентифицировать материалы с предсказуемыми квантованными эффектами, такими как квантовый спиновый Холл эффект.

Обменно-корреляционные функционалы для топологических систем

Стандартные LDA и GGA функционалы часто недостаточны для адекватного описания топологических свойств. В последние годы предложены подходы:

  • Meta-GGA и hybrid-функционалы: учитывают локальные градиенты плотности и долю точной гамильтоновой энергии, что позволяет корректно предсказывать энергетические разрывы и положение краевых состояний.
  • Не локальные функционалы: включают зависимость от плотности на соседних атомных центрах, что важно для точного описания спин-орбитальных взаимодействий.

Ключевой момент: точность ТФП для топологических материалов зависит критически от выбора функционала, способного корректно описывать как объемные, так и краевые состояния.

Взаимодействие с внешними полями

В топологических материалах реакция на внешние поля (магнитные, электрические) определяется функционалами:

$$ E_{\text{ext}}[\rho, \mathbf{A}] = \int d\mathbf{r} \, \rho(\mathbf{r}) \, V_{\text{ext}}(\mathbf{r}) + \frac{1}{2m} (\mathbf{p} - e\mathbf{A})^2, $$

где A — векторный потенциал магнитного поля.

Практический результат: с помощью ТФП можно прогнозировать квантованное поведение проводимости и магнитных моментов, характерное для топологических изоляторов и полуметаллов.

Оглавление