Функциональные методы в теории турбулентности представляют собой мощный математический аппарат для описания статистических свойств турбулентных потоков. Основная цель этих методов — формализация среднего поведения сложных многомерных случайных полей с использованием функциональных интегралов, генераторов корреляционных функций и функциональных производных. В отличие от классических методов, основанных на моментных уравнениях, функциональные методы позволяют систематически учитывать нелинейность Навье–Стоксовых уравнений и влияние флуктуаций на макроскопическое поведение.
Пусть v(x, t) — случайное векторное поле скорости. Введём функциональный генератор:
Z[J] = ⟨exp (∫d3x dt J(x, t) ⋅ v(x, t))⟩,
где J(x, t) — вспомогательное поле (источник), а угловые скобки ⟨⋅⟩ обозначают среднее по ансамблю турбулентности. Дифференцируя Z[J] по J и затем полагая J = 0, получают все корреляционные функции:
$$ \langle v_{i_1}(\mathbf{x}_1,t_1) \dots v_{i_n}(\mathbf{x}_n,t_n) \rangle = \frac{\delta^n Z[\mathbf{J}]}{\delta J_{i_1}(\mathbf{x}_1,t_1) \dots \delta J_{i_n}(\mathbf{x}_n,t_n)} \Bigg|_{\mathbf{J}=0}. $$
Функциональный подход позволяет объединить всю иерархию моментных уравнений (например, уравнения Кельвина–Ландау–Боголиубова) в компактную форму через функциональный генератор. Это особенно важно для турбулентности, где количество значимых моментов огромно и их прямая обработка становится практически невозможной.
Стационарные или динамические уравнения Навье–Стокса могут быть переписаны в виде функционального интеграла Фейнмана–Какса:
$$ \langle \mathcal{O}[\mathbf{v}] \rangle = \int \mathcal{D}\mathbf{v} \, \mathcal{O}[\mathbf{v}] \, \delta\big( \partial_t \mathbf{v} + (\mathbf{v} \cdot \nabla)\mathbf{v} + \nabla p - \nu \nabla^2 \mathbf{v} - \mathbf{f} \big) \, \det\left[ \frac{\delta (\text{НС})}{\delta \mathbf{v}} \right] P[\mathbf{v}_0], $$
где ????[v] — наблюдаемая величина, ν — вязкость, f — внешние силы, а P[v0] задаёт распределение начальных условий. Такая запись превращает задачу решения нелинейных уравнений в задачу интегрирования по пространству функций.
Для анализа временной эволюции турбулентного поля часто вводят двойственные функционалы и вспомогательные поля (аналогичные полям Мартингала), что позволяет применять методы квантовой теории поля к статистике турбулентности. В частности, реактивные методы (response functional approach) позволяют вычислять отклик турбулентного поля на слабые возмущения внешних сил.
В функциональном подходе часто рассматривают уравнения для функционального генератора Z[J], которые имеют вид функциональных дифференциальных уравнений:
$$ \frac{\delta Z[\mathbf{J}]}{\delta t} = \hat{\mathcal{L}}[\mathbf{J}] Z[\mathbf{J}], $$
где $\hat{\mathcal{L}}[\mathbf{J}]$ — функциональный оператор, задающий нелинейное взаимодействие полей. Такое уравнение является аналогом уравнений Фоккера–Планка для функциональных распределений и даёт возможность исследовать эволюцию статистики полностью.
Функциональный подход естественно ведёт к использованию диаграммной техники. Корреляционные функции и отклики можно представлять через диаграммы, где линии соответствуют двум точечным корреляциям, а вершины — нелинейным взаимодействиям. Такой подход позволяет:
Использование функциональных методов позволяет проводить самосогласованные замыкания, такие как метод 2PI (two-particle irreducible) или функциональный Ренормгрупповый подход. Эти методы дают инструмент для вычисления статистики высоких порядков без необходимости прямого решения всей иерархии моментных уравнений.