Метод крупных вихрей

Метод крупных вихрей (Large Eddy Simulation, LES) представляет собой один из наиболее эффективных подходов к численному моделированию турбулентных течений, особенно в случаях, когда характерные масштабы турбулентности сильно различаются. Основная идея LES заключается в разделении полей скорости и давления на крупномасштабные структуры, которые разрешаются напрямую, и маломасштабные компоненты, которые моделируются с использованием субсетки (subgrid-scale, SGS) моделей.

Разделение масштабов турбулентности

Турбулентное поле u(x, t) можно разложить с помощью фильтрации:

$$ \mathbf{u}(\mathbf{x},t) = \bar{\mathbf{u}}(\mathbf{x},t) + \mathbf{u}'(\mathbf{x},t), $$

где:

  • $\bar{\mathbf{u}}(\mathbf{x},t)$ — крупномасштабная компонентa (resolved scales),
  • u′(x, t) — маломасштабная компонентa (subgrid scales, SGS).

Фильтрация обычно выполняется сверткой с ядром фильтра GΔ, характеризующим размер разрешаемой сетки Δ:

$$ \bar{\mathbf{u}}(\mathbf{x},t) = \int_V G_\Delta(\mathbf{x}-\mathbf{r}) \mathbf{u}(\mathbf{r},t)\, d\mathbf{r}. $$

Размер фильтра Δ выбирается таким образом, чтобы крупные вихри, отвечающие за основную транспортировку энергии и импульса, были разрешены сеткой, а малые, менее энергетические структуры моделировались.

Основные уравнения LES

Применение фильтра к уравнениям Навье–Стокса приводит к следующим уравнениям для крупномасштабного поля:

$$ \frac{\partial \bar{u}_i}{\partial t} + \bar{u}_j \frac{\partial \bar{u}_i}{\partial x_j} = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial \bar{p}}{\partial x_i} + \nu \frac{\partial^2 \bar{u}_i}{\partial x_j^2} - \frac{\partial \tau_{ij}^{SGS}}{\partial x_j}, $$

где $\tau_{ij}^{SGS} = \overline{u_i u_j} - \bar{u}_i \bar{u}_j$ — тензор субсетки, отражающий влияние малых вихрей на крупные.

Ключевой момент: Тензор τijSGS нельзя вычислить напрямую, поскольку он зависит от малых масштабов, которые не разрешены сеткой. Его необходимо моделировать с помощью подходящих субсеточных моделей.

Модели субсетки (SGS)

Существуют различные подходы к моделированию τijSGS:

  1. Модель Смэга–Ларса (Smagorinsky model)

$$ \tau_{ij}^{SGS} - \frac{1}{3}\tau_{kk}^{SGS}\delta_{ij} = -2 \nu_t \bar{S}_{ij}, \quad \nu_t = (C_s \Delta)^2 |\bar{S}|, $$

где:

  • $\bar{S}_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial \bar{u}_i}{\partial x_j} + \frac{\partial \bar{u}_j}{\partial x_i} \right)$ — крупномасштабный тензор деформации,
  • $|\bar{S}| = \sqrt{2 \bar{S}_{ij} \bar{S}_{ij}}$,
  • Cs — константа Смэга (обычно 0.1–0.2).

  1. Динамическая модель Смэга–Ларса (Dynamic Smagorinsky model) Позволяет вычислять коэффициент Cs локально, учитывая анизотропию течения и изменчивость поля. Это повышает точность LES при сложных геометриях.

  2. Модели типа тензора вихрей (Vreman, WALE) Эти модели учитывают локальные характеристики течения, улучшая поведение вблизи стенок и при малых масштабах.

Влияние фильтрации на энергетический спектр

Крупные вихри, разрешаемые сеткой, несут основную часть кинетической энергии. Малые вихри формируют спектр Кольмогорова и участвуют в диссипации энергии.

  • LES позволяет корректно воспроизводить энергетический спектр для k < kΔ, где kΔ ∼ 1/Δ.
  • Для k > kΔ спектр задается субсеточной моделью.

Таким образом, LES обеспечивает компромисс между точностью и вычислительной эффективностью: крупные вихри моделируются точно, малые — приближенно.

Применение метода крупных вихрей

LES эффективен для анализа турбулентных процессов, где присутствуют развитые, энергичные крупные структуры:

  • Аэродинамика: расчёт турбулентного обтекания крыльев, вертолетных роторов, автомобилестроение.
  • Метеорология: моделирование атмосферных потоков, вихрей в пограничном слое.
  • Гидродинамика: изучение течений в трубопроводах, канализационных и природных водоемах.
  • Тепломассообмен: расчёт турбулентного смешения и переноса в реакторах и камерах сгорания.

Ключевым преимуществом LES является возможность воспроизведения крупных динамических структур потока, которые определяют макроскопические характеристики течения, без необходимости полностью разрешать весь спектр турбулентности, как это требуется в DNS (Direct Numerical Simulation).

Численные особенности LES

  1. Разрешение сетки Размер ячейки Δ должен быть сопоставим с крупными вихрями. Слишком крупная сетка недооценивает влияние крупных структур, слишком мелкая — увеличивает вычислительные затраты, приближаясь к DNS.

  2. Схемы фильтрации Фильтр может быть явным (explicit) или встроенным в сетку (implicit). Часто применяются топ-хэт фильтры, гауссовы фильтры или фильтры по направлению сетки.

  3. Временная дискретизация LES требует точной интеграции по времени для корректного воспроизведения динамики вихрей. Используются методы Runge–Kutta высокой точности или адаптивные схемы с учётом CFL-условия.

  4. Влияние границ и стенок Вблизи твердых границ крупные вихри подчиняются анизотропным условиям. Для таких областей используются корректированные SGS-модели (WALE, Vreman) или комбинация LES с RANS (например, DES — Detached Eddy Simulation).

Основные преимущества и ограничения LES

Преимущества:

  • Высокая точность для крупных турбулентных структур.
  • Возможность воспроизводить нестационарные вихревые процессы.
  • Гибкость при работе с сложными геометриями и нестационарными потоками.

Ограничения:

  • Высокие требования к вычислительным ресурсам по сравнению с RANS.
  • Необходимость тонкой настройки субсеточных моделей и фильтра.
  • Ограничения в области стенок при высоких Reynolds, требующие гибридных подходов (LES/RANS).
Оглавление