Электропроводность твёрдого тела — это способность материала проводить электрический ток под действием внешнего электрического поля. Фундаментально, проводимость обусловлена движением заряженных частиц — электронов и дырок — в кристаллической решётке. В рамках зонной теории твёрдого тела можно строго разделить поведение металлов, полупроводников и диэлектриков по наличию свободных носителей и по ширине запрещённой зоны.
Для описания электропроводности используется закон Ома в дифференциальной форме:
j⃗ = σE⃗,
где $$ — плотность тока, $$ — электрическая проводимость, $$ — напряжённость электрического поля. С точки зрения микроскопической теории, $$ выражается через параметры электронного газа и взаимодействие носителей с фононами, дефектами и другими рассеивателями.
Классическая модель Друде рассматривает электроны как свободные частицы с эффективной массой, движущиеся в кристалле и подвергающиеся случайным столкновениям с характерным временем релаксации $$. Электропроводность в этой модели описывается выражением:
$$ \sigma = \frac{n e^2 \tau}{m^*}, $$
где $n$ — концентрация носителей, $e$ — заряд электрона, $m^*$ — эффективная масса электрона, $$ — среднее время между столкновениями. Несмотря на свою простоту, модель Друде даёт верный порядок величин для металлов при высоких температурах, но не учитывает квантовые эффекты, особенно важные в полупроводниках и при низких температурах.
Квантовая механика существенно уточняет представление о движении носителей. Электроны описываются волновыми функциями, подчинёнными уравнению Шрёдингера в периодическом потенциале. Решение приводит к образованию энергетических зон и запрещённых промежутков между ними. Только электроны, находящиеся в зоне проводимости, или дырки в валентной зоне, способны участвовать в токе. При этом проводимость определяется не только концентрацией, но и квантовой плотностью состояний и эффективной массой носителей.
Квантовая формула проводимости в приближении релаксационного времени имеет вид:
$$ \sigma = \frac{e^2}{V} \sum_{\vec{k}} \tau(\vec{k}) v^2(\vec{k}) \left( -\frac{\partial f_0}{\partial \varepsilon} \right), $$
где $f_0$ — функция Ферми–Дирака, $v()$ — групповая скорость электронов, $()$ — время релаксации, зависящее от состояния.
Подвижность $$ — важный параметр, характеризующий скорость дрейфа носителей в электрическом поле:
vd = μE,
где $v_d$ — дрейфовая скорость. Подвижность связана с электропроводностью и концентрацией носителей соотношением:
σ = neμ.
Для дырок аналогично: $= p e _p$, где $p$ — концентрация дырок, $_p$ — их подвижность. В реальных материалах в проводимости часто участвуют оба типа носителей.
Подвижность зависит от температуры, структуры кристалла, степени легирования, а также от механизма рассеяния: на фононах, дефектах, ионах примесей.
В металлах: при увеличении температуры наблюдается уменьшение проводимости вследствие роста числа фононов, рассеяние на которых уменьшает $$. В простейшем приближении:
$$ \sigma(T) \propto \frac{1}{T}, $$
что соответствует линейной температурной зависимости сопротивления $R(T)$.
В полупроводниках: наблюдается более сложная картина. При низких температурах основную роль играет рассеяние на ионных примесях, тогда как при высоких — на акустических и оптических фононах. Подвижность как функция температуры может описываться выражением:
μ(T) ∝ T−3/2 (фононное рассеяние),
μ(T) ∝ T3/2 (рассеяние на примесях).
Проводимость полупроводника также зависит от числа термически возбуждённых носителей, которое увеличивается экспоненциально с температурой:
$$ n(T) \sim \exp\left( -\frac{E_g}{2kT} \right), $$
где $E_g$ — ширина запрещённой зоны.
В анизотропных кристаллах (например, в графите, щёлочноземельных халькогенидах, высокотемпературных сверхпроводниках) проводимость может существенно зависеть от направления тока относительно кристаллографических осей. В таких случаях $$ описывается тензором второго ранга:
j⃗ = σ̂E⃗,
где тензор $$ отражает симметрию кристалла. Измерение анизотропии проводимости позволяет получить информацию о топологии зонной структуры, степенях свободы носителей, наличии направленного рассеяния и эффектов квантового транспорта.
Наиболее важные механизмы, определяющие релаксационное время $$, включают:
Общий вид выражения для времени релаксации зависит от конкретного механизма и его вероятности, получаемой из теории рассеяния Ферми:
$$ \frac{1}{\tau(\varepsilon)} = \sum_{\vec{k}'} W_{\vec{k}, \vec{k}'} (1 - \cos \theta), $$
где $W_{, ’}$ — вероятность перехода между состояниями, $$ — угол между начальными и конечными волновыми векторами.
Введение примесей позволяет управлять концентрацией носителей. В полупроводниках различают:
Электропроводность легированного полупроводника описывается как:
σ = ndeμn + paeμp,
где $n_d$ и $p_a$ — концентрации донорных и акцепторных носителей, соответственно. Оптимальное легирование позволяет достичь высокой подвижности и стабильной температуры проводимости.
В сильных электрических полях поведение носителей отклоняется от линейного режима. Подвижность становится функцией поля:
$$ \mu(E) = \frac{v_d(E)}{E}, $$
где дрейфовая скорость может достигать насыщения из-за увеличенного рассеяния.
При высоких концентрациях носителей возникают эффекты экранирования и перераспределения поля, что также влияет на подвижность, особенно в гетероструктурах и наноматериалах.
В наноразмерных системах (нанопровода, графен, квантовые точки) длина свободного пробега может превышать размеры образца. Тогда транспорт носит баллистический характер, и сопротивление теряет смысл как результат рассеяния.
Появляется квантовая проводимость, выражающаяся в квантах проводимости:
$$ G = N \frac{2e^2}{h}, $$
где $N$ — число проводящих каналов, $h$ — постоянная Планка. Эти эффекты лежат в основе современных технологий квантовой электроники и спинтроники.
Для точного измерения подвижности и проводимости используют:
Использование различных методов позволяет охватить широкий диапазон температур, полей и частот, обеспечивая полное понимание механизмов транспорта носителей в твёрдом теле.