В кристаллографии важно уметь однозначно и систематически описывать ориентации различных плоскостей и направлений в кристаллической решётке. Эта задача решается при помощи индексов Миллера — набора целых чисел, определяющих положение плоскости или направления относительно координатной системы элементарной ячейки. Метод введён Уильямом Г. Миллером в XIX веке и является основополагающим в кристаллографии.
Индексы Миллера обозначаются в виде тройки целых чисел (hkl). Эти числа определяются следующим образом:
Определение пересечений с осями: выбирается кристаллографическая плоскость, и определяются точки, в которых она пересекает оси координат a, b и c. Пересечения записываются в долях от длин соответствующих векторов элементарной ячейки.
Обращение значений: вычисляются обратные значения координат пересечений. Если плоскость параллельна какой-либо оси и не пересекает её, соответствующее значение считается бесконечным, а обратное — нулём.
Очистка от дробей: полученные обратные значения умножаются на наименьшее общее кратное, чтобы получить целые числа h, k, l.
Запись: результат записывается в круглых скобках без запятых: (hkl).
Пример: плоскость, пересекающая оси в точках a, ∞, c/2, имеет пересечения (1, ∞, 1/2), обратные значения (1, 0, 2), и соответствующий индекс Миллера — (102).
Важно: если один или несколько индексов отрицательны, это указывается чертой над соответствующим числом: например, (1̅01) означает h = -1, k = 0, l = 1.
Символ фигурных скобок обозначает семейство кристаллографических плоскостей, которые симметрично эквивалентны в данной кристаллической системе. Например, в кубической системе плоскости (100), (010), (001), (1̅00), (01̅0), (001̅) принадлежат одному семейству, обозначаемому как {100}.
Кристаллографические направления в решётке обозначаются при помощи квадратных скобок [uvw]. Метод получения индексов направлений:
Выбирается вектор, указывающий направление от начала координат к определённой точке в кристалле.
Определяются координаты этой точки в терминах базисных векторов элементарной ячейки: r = ua + vb + wc.
Компоненты u, v, w приводятся к наименьшим целым числам, сохраняющим то же отношение.
Пример: направление от начала координат к точке (1,1,0) даёт направление [110].
Противоположное направление обозначается с чертой над индексом: [1̅1̅0] — это направление, противоположное [110].
Подобно плоскостям, направления, симметрично эквивалентные, объединяются в семейства, обозначаемые фигурными угловыми скобками: ⟨uvw⟩. Например, в кубической решётке ⟨100⟩ включает [100], [010], [001], [1̅00], [01̅0], [001̅].
Индексы Миллера несут не только алгебраический, но и геометрический смысл:
Для направлений ситуация аналогична: [100] означает направление вдоль оси a, [111] — по диагонали, проходящей через кубическую ячейку.
Для расчёта угла θ между двумя направлениями [u₁v₁w₁] и [u₂v₂w₂] используется скалярное произведение:
$$ \cos\theta = \frac{u_1u_2 + v_1v_2 + w_1w_2}{\sqrt{u_1^2 + v_1^2 + w_1^2} \cdot \sqrt{u_2^2 + v_2^2 + w_2^2}} $$
Для угла между направлением и плоскостью используется формула, основанная на нормальном векторе плоскости (индексы Миллера дают направление нормали):
$$ \cos\theta = \frac{hu + kv + lw}{\sqrt{h^2 + k^2 + l^2} \cdot \sqrt{u^2 + v^2 + w^2}} $$
В простейшей кубической структуре (примитивный куб):
Гексагональная решётка требует модифицированной системы индексов — четырёхиндексной (Miller-Bravais):
Плоскости обозначаются как (hkil), где:
i = −(h + k)
Это обеспечивает симметричное представление гексагональной структуры, особенно важно для описания осей 6-го порядка и их эквивалентности.
Знание индексов Миллера критически важно в различных задачах физики твёрдого тела:
В кубической системе направление [hkl] перпендикулярно плоскости (hkl), но в других кристаллографических системах это правило не соблюдается. В некубических системах (тетрагональной, орторомбической и др.) угол между нормалью к плоскости (hkl) и направлением [hkl] может быть произвольным, что требует особого внимания при анализе ориентации.
Компьютерные программы (такие как VESTA, CrystalMaker) позволяют визуализировать кристаллические структуры с отображением плоскостей и направлений с заданными индексами Миллера, что используется в научных и образовательных целях.
| Система | Число индексов для плоскости | Особенности |
|---|---|---|
| Кубическая | 3 | (hkl) ортогональны оси |
| Тетрагональная | 3 | Похожая на кубическую, но c ≠ a |
| Орторомбическая | 3 | Все оси разной длины |
| Гексагональная | 4 (hkil) | Используется правило i = –(h + k) |
| Тригональная, ромбическая | 3 или 4 | Зависит от симметрии |
Различие в индексировании определяет точность описания физических процессов, происходящих в кристалле.
Формализм Миллера — фундаментальный язык кристаллографии, обеспечивающий универсальный способ описания геометрических характеристик кристаллической решётки. Знание и умелое применение индексов позволяет интерпретировать экспериментальные данные, моделировать поведение твёрдых тел и проектировать материалы с заданными свойствами.