Дисперсионная функция

Определение и физический смысл

Дисперсионная функция D(s) является фундаментальной характеристикой движения частиц в ускорителях и описывает зависимость отклонения частицы от заданной орбиты при изменении её импульса. В пространстве фазового движения она связывает поперечное смещение частицы с относительным изменением её импульса:

$$ x(s) = x_\beta(s) + D(s) \frac{\Delta p}{p_0}, $$

где xβ(s) — гармоническое колебание частицы вокруг идеальной орбиты (бетатронное колебание), Δp/p0 — относительное изменение импульса частицы.

Дисперсионная функция позволяет учёным учитывать отклонения пучка от идеальной траектории, вызванные не только колебаниями, но и энергодефектами, и является ключевым элементом проектирования систем фокусировки и корректирующих магнитов.

Уравнение дисперсии

Дисперсионная функция удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению:

$$ \frac{d^2 D(s)}{ds^2} + K(s) D(s) = \frac{1}{\rho(s)}, $$

где:

  • K(s) — функция фокусировки (квадрупольная сила на единицу импульса),
  • ρ(s) — радиус кривизны идеальной орбиты в точке s,
  • s — продольная координата вдоль орбиты.

Это уравнение является аналогом уравнения для бетатронных колебаний, но с вынужденной частью 1/ρ(s), отражающей воздействие кривизны дипольных магнитов на частицы с изменённым импульсом.

Связь с хроматизмом

Дисперсия непосредственно связана с хроматизмом ускорителя. Хроматизм ξ определяет зависимость частоты бетатронного колебания от относительного изменения импульса:

$$ \xi = \frac{\Delta Q}{\Delta p/p_0} = -\frac{1}{4\pi} \oint K(s) D(s) \, ds, $$

где Q — число бетатронных колебаний за оборот.

Таким образом, правильное управление дисперсией позволяет минимизировать хроматические расходимости пучка и улучшить стабильность ускорителя.

Методы расчёта дисперсионной функции

  1. Аналитический подход Для простых систем с периодическими ячейками (например, FODO-цепочки) дисперсию можно найти через решение линейного дифференциального уравнения. Решение обычно имеет вид:

    D(s) = Dc(s) + Dh(s),

    где Dc(s) — частное решение уравнения с источником 1/ρ(s), а Dh(s) — общее решение однородного уравнения (бетатронная часть).

  2. Метод матриц передачи В современном проектировании ускорителей часто применяют матричный подход. Дисперсия в точке s2 через точку s1 описывается:

    $$ \begin{pmatrix} D(s_2) \\ D'(s_2) \end{pmatrix} = M(s_2 \gets s_1) \begin{pmatrix} D(s_1) \\ D'(s_1) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} d_c(s_2) \\ d_c'(s_2) \end{pmatrix}, $$

    где M — матрица линейного переноса, а (dc, dc′) — интеграл воздействия кривизны на дисперсию. Этот метод особенно удобен для систем с большим числом элементов, позволяя численно рассчитывать распределение D(s) по всей орбите.

Дисперсия в периодических структурах

Для ускорителей с повторяющейся ячейкой (например, FODO или DBA) дисперсия приобретает периодический характер. Если обозначить длину ячейки L и её матрицу переноса Mcell, то дисперсия удовлетворяет условию периодичности:

$$ \begin{pmatrix} D(L) \\ D'(L) \end{pmatrix} = M_\text{cell} \begin{pmatrix} D(0) \\ D'(0) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} d_c \\ d_c' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} D(0) \\ D'(0) \end{pmatrix}. $$

Решение этого уравнения позволяет определить дисперсию в любой точке ячейки через параметры элементов и геометрию.

Особенно важно учитывать, что максимальные значения дисперсии обычно приходятся на слабые фокусирующие элементы, а минимальные — в средних точках сильной фокусировки. Это критично для оптимизации поперечного размера пучка и уменьшения потерь частиц.

Дисперсионная функция и апертура пучка

Дисперсия напрямую влияет на эффективную апертуру ускорителя. Поперечная апертура A для частицы с импульсной девиацией Δp/p0 можно записать как:

$$ A_\text{eff} = A_\beta - D_\text{max} \frac{\Delta p}{p_0}, $$

где Aβ — апертура для чисто бетатронных колебаний, Dmax — максимальное значение дисперсии.

Таким образом, оптимизация дисперсии позволяет не только уменьшить хроматизм, но и увеличить допустимый диапазон импульсов частиц, что особенно важно для синхротроно-радиационных источников и коллайдеров.

Коррекция дисперсии

Для точного управления дисперсией применяют корректирующие элементы:

  • Секступоли — для уменьшения хроматических эффектов и контроля нелинейной части дисперсии;
  • Диполи с регулируемым полем — для локальной коррекции дисперсии в определённых секциях ускорителя;
  • Оптимизация конфигурации ячеек — для минимизации максимальных значений дисперсии.

Коррекция дисперсии особенно важна в высокоэнергетических коллайдерах, где расходимости пучка должны быть минимальными, а стабильность траектории — высокой.

Оглавление