Статистическая механика нейтрино является фундаментальным инструментом для описания макроскопических свойств систем, состоящих из огромного числа нейтрино, которые, будучи фермионами, подчиняются статистике Ферми–Дирака. Особенность их взаимодействий заключается в том, что нейтрино участвуют в слабом взаимодействии и практически не затрагиваются электромагнитным и сильным взаимодействиями. Это приводит к особым условиям термодинамического равновесия, характерным для ранней Вселенной, сверхновых и ускорительных экспериментов с интенсивными нейтринными пучками.
Нейтрино как частицы со спином 1/2 описываются распределением Ферми–Дирака. Для равновесной системы оно имеет вид:
$$ f(E) = \frac{1}{e^{(E - \mu)/T} + 1}, $$
где
В случае, когда нейтрино находятся в условиях сильного разбавления и взаимодействия незначительны, химический потенциал стремится к нулю, и функция распределения упрощается. Однако в астрофизических задачах, например в коллапсирующих ядрах звезд, μ может иметь значительное значение, что приводит к несимметричному распределению между нейтрино и антинейтрино.
Для вычисления макроскопических характеристик системы нейтрино необходимо учесть плотность квантовых состояний. В трёхмерном пространстве импульсов она определяется выражением:
$$ g(p) dp = \frac{4\pi p^2}{(2\pi \hbar)^3} dp, $$
что в сочетании с распределением Ферми–Дирака позволяет получить:
n = ∫f(E)g(p)dp,
ρ = ∫Ef(E)g(p)dp.
Для релятивистских нейтрино (E ≈ pc) эти интегралы приводят к хорошо известным выражениям, применимым в космологии и физике плазмы ранней Вселенной.
Энтропия системы нейтрино тесно связана с их распределением и определяется стандартными методами статистической механики:
S = −g∫[fln f + (1 − f)ln (1 − f)]g(p)dp,
где g — число степеней свободы (для одного сорта нейтрино g = 2, учитывая спиновые состояния).
Давление нейтрино выражается как:
$$ P = \frac{1}{3} \int \frac{p^2}{E} f(E) g(p) dp, $$
что в ультрарелятивистском случае приводит к соотношению P = ρ/3, аналогичному для фотонного газа.
В условиях высокой плотности, например в ядрах сверхновых или нейтронных звёзд, нейтрино могут образовывать вырожденный ферми-газ. Вырождение возникает при условии, что средняя энергия Ферми превышает тепловую энергию (EF ≫ kT). В этом случае статистика Ферми–Дирака переходит к ступенчатому виду: все состояния до уровня Ферми заняты, а выше него пусты.
Энергия Ферми для нейтрино определяется как:
EF = ℏc(3π2n)1/3,
где n — концентрация нейтрино.
Вырожденный газ нейтрино оказывает значительное давление, что имеет важное значение для динамики коллапса звезд и образования нейтронных звёзд.
Ранняя Вселенная. В эпоху до отделения нейтрино (примерно при T ∼ 1 МэВ) они находились в термодинамическом равновесии с фотонами, электронами и позитронами. После распада слабых взаимодействий нейтрино “отделились” и стали образовывать реликтовый фон, сохранивший распределение Ферми–Дирака с температурой чуть ниже температуры фотонов.
Сверхновые вспышки. В момент гравитационного коллапса ядра звезды основная энергия излучается нейтрино. Их спектры и динамика определяются статистическими законами, описывающими плотность и распределение энергий.
Нейтринные звезды и плотные объекты. В условиях высокой плотности нейтрино могут оказывать вклад в уравнение состояния материи, изменяя баланс между гравитационным сжатием и давлением частиц.
Хотя в лабораторных условиях нейтрино слабо взаимодействуют и практически не thermalизуются, для интенсивных пучков нейтрино, генерируемых в ускорителях, также применяются методы статистического описания. При большом числе частиц в пучке можно вводить функции распределения по импульсу и энергии, аналогичные распределению в плазме.
В таких системах учитываются:
Таким образом, несмотря на слабое взаимодействие, методы статистической механики позволяют корректно описывать усредненные характеристики пучков и вероятность регистрации нейтрино в детекторах.
Особое значение имеют флуктуации числа нейтрино в детекторах и астрофизических объектах. Для фермионов характерны анти-корреляции, связанные с принципом Паули: вероятность нахождения двух нейтрино в одном состоянии подавлена.
Корреляционные функции второго порядка:
$$ g^{(2)}(r) = \frac{\langle n(0)n(r)\rangle}{\langle n \rangle^2}, $$
для нейтрино демонстрируют отличия от бозонных систем, где, напротив, возможна конденсация и усиленные корреляции.