Метрика пространства-времени — это математический инструмент, который описывает геометрическую структуру пространства-времени и позволяет измерять интервалы между событиями. В классической механике время рассматривается как абсолютная величина, а пространство — как евклидово. В релятивистской физике эта концепция кардинально меняется: пространство и время объединяются в четырёхмерное многообразие, где интервалы между событиями зависят от системы отсчёта.
Ключевым объектом является инвариантный интервал ds, который определяется формулой:
ds2 = gμνdxμdxν
где gμν — компоненты метрического тензора, а dxμ — дифференциалы координат четырёхмерного пространства-времени (x0 = ct, x1, x2, x3).
Ключевой момент: интервал ds2 инвариантен относительно преобразований Лоренца, что является фундаментальным свойством специальной теории относительности.
Интервалы классифицируются по знаку ds2:
Времеподобный интервал (ds2 > 0): существует система отсчёта, в которой события происходят в одном месте, различие только во времени. Часто используется для описания мировых линий тел с массой.
Светоподобный интервал (ds2 = 0): характеризует движение света и других безмассовых частиц. Все такие события находятся на световом конусе, формируя границу причинно-следственных связей.
Пространственно-подобный интервал (ds2 < 0): существует система отсчёта, в которой события происходят одновременно, но в разных точках пространства.
Ключевой момент: знак интервала определяет доступность причинно-следственных связей между событиями.
Для плоского четырёхмерного пространства-времени (без гравитации) метрика имеет вид:
ds2 = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2
где c — скорость света. В этой форме видно, что время и пространство входят в интервал с разными знаками, что отражает псевдоевклидову структуру пространства-времени.
Ключевой момент: различие знаков между временной и пространственными координатами обеспечивает существование ограниченной скорости распространения сигналов (скорости света) и формирование световых конусов.
Метрический тензор gμν определяет геометрию пространства-времени и используется для вычисления интервалов, углов и объёмов. В компонентной записи для Минковского:
$$ g_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} $$
Для кривого пространства-времени (общая теория относительности) компоненты gμν становятся функциями координат: gμν(xα).
Ключевой момент: метрический тензор отражает влияние массы и энергии на геометрию пространства-времени, создавая кривизну, которая интерпретируется как гравитация.
Метрика инвариантна относительно преобразований Лоренца, которые связывают координаты двух инерциальных систем отсчёта, движущихся с постоянной скоростью относительно друг друга:
$$ \begin{cases} x' = \gamma (x - vt) \\ t' = \gamma (t - \frac{v}{c^2} x) \\ y' = y \\ z' = z \end{cases} $$
где $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$.
Ключевой момент: благодаря этой инвариантности интервалы остаются неизменными для всех наблюдателей, что обеспечивает согласованность физических законов в разных системах отсчёта.
В общей теории относительности пространство-время описывается кривым многообразием, и метрика определяет геодезические линии, по которым движутся тела и световые лучи. Уравнение геодезической линии:
$$ \frac{d^2 x^\lambda}{d\tau^2} + \Gamma^\lambda_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{d\tau} \frac{dx^\nu}{d\tau} = 0 $$
где Γμνλ — символы Кристоффеля, отражающие влияние кривизны.
Ключевой момент: движение тел в кривом пространстве-времени определяется не силами в классическом смысле, а геометрией метрики.
$$ G_{\mu\nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu\nu} $$
где Gμν — тензор Эйнштейна, описывающий кривизну, а Tμν — тензор энергии-импульса.
Энергетические и динамические свойства: Метрика определяет, как энергия и импульс взаимодействуют с кривизной.
Флуктуации и геометрические эффекты: В космологии метрика позволяет описывать расширение Вселенной, кривизну и структуру световых горизонтов.