В классической механике законы Ньютона обладают полной симметрией во времени. Любая траектория частиц, описываемая дифференциальными уравнениями движения, при инверсии времени остаётся допустимой: если все скорости частиц изменить на противоположные, система будет эволюционировать «назад» точно по тем же траекториям. Этот факт лежит в основе принципа микроскопической обратимости.
Однако на макроскопическом уровне наблюдается явное направление времени, которое проявляется через необратимые процессы: тепло самопроизвольно переходит от горячего тела к холодному, газы расширяются в доступное пространство и не собираются обратно. Возникает парадокс Лосева-Больцмана: как из микроскопически обратимых законов вытекает макроскопическая необратимость?
Больцман предложил рассматривать макроскопические состояния как совокупность микросостояний. Каждое микросостояние соответствует определённым положениям и скоростям всех молекул. Макроскопические параметры (температура, давление, объём) задают множество микросостояний, совместимых с этими параметрами.
Ключевой момент: макроскопическое поведение определяется статистической вероятностью микросостояний. Энтропия S вводится как мера числа микросостояний W:
S = kBln W
где kB — постоянная Больцмана. Наиболее вероятные макроскопические состояния соответствуют максимальному числу микросостояний, что формально объясняет стремление системы к увеличению энтропии.
Для вывода уравнения Больцмана о кинетике газов необходимо допустить, что перед столкновениями скорости молекул независимы друг от друга. Это предположение известно как гипотеза молекулярного хаоса (Stosszahlansatz). Она позволяет:
$$ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla_\mathbf{r} f + \mathbf{F} \cdot \nabla_\mathbf{v} f = \left( \frac{\partial f}{\partial t} \right)_{\text{столкновения}} $$
где f(r, v, t) — функция распределения молекул по координатам и скоростям.
Важно: гипотеза молекулярного хаоса вводит асимметрию времени на статистическом уровне, хотя микроскопические законы остаются обратимыми. Она формально оправдывает рост энтропии, но сама не является законом природы — это статистическое допущение.
Если применить обратимость микроскопических законов напрямую, можно построить сценарий, когда все молекулы «разворачиваются назад», и энтропия уменьшается. Это явление называется парадоксом обратимости. На практике вероятность такого события экстремально мала, поскольку количество микросостояний, соответствующих упорядоченному состоянию, ничтожно по сравнению с хаотическими состояниями.
Ключевое наблюдение: макроскопическая необратимость не противоречит микроскопической обратимости, если учитывать вероятностный характер событий. Рост энтропии — статистическая закономерность, а не детерминированное следствие микроскопических законов.
В рамках гипотезы молекулярного хаоса можно записать теорему H Больцмана. Определим функцию H как:
H(t) = ∫f(v, t)ln f(v, t) d3v
Больцман показал, что
$$ \frac{dH}{dt} \le 0 $$
что эквивалентно возрастанию энтропии в статистическом смысле:
S = −kBH
Эта теорема формально связывает статистическую динамику молекул с направлением времени на макроскопическом уровне.
Парадокс обратимости демонстрирует фундаментальное различие между микроскопическими законами и макроскопическим поведением. Гипотеза молекулярного хаоса обеспечивает статистическую основу для объяснения направления времени, роста энтропии и необратимости термодинамических процессов, оставаясь при этом не нарушая законов классической механики. Она подчёркивает роль вероятностей и многомиллионных микросостояний в формировании макроскопической реальности.