Преобразования Лоренца и четырехмерное пространство-время

Преобразования Лоренца представляют собой математические формулы, описывающие связь координат и времени событий между двумя инерциальными системами отсчёта, движущимися относительно друг друга с постоянной скоростью. Они являются фундаментом специальной теории относительности (СТО) Альберта Эйнштейна и позволяют корректно учитывать эффекты, которые становятся значимыми при скоростях, близких к скорости света c.

Для двух систем отсчёта S и S′, где S′ движется вдоль оси x относительно S со скоростью v, преобразования Лоренца имеют вид:

$$ x' = \gamma (x - vt), \quad y' = y, \quad z' = z, \quad t' = \gamma \left(t - \frac{vx}{c^2}\right), $$

где $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ — фактор Лоренца.

Ключевые моменты:

  • В отличие от классических преобразований Галилея, здесь время t′ зависит от координаты x и скорости движения v, что отражает относительность одновременности.
  • γ ≥ 1, что приводит к эффектам замедления времени и сокращения длины при движении с большой скоростью.

Относительность одновременности

Одним из наиболее революционных следствий преобразований Лоренца является относительность одновременности: два события, одновременные в одной системе отсчёта, могут происходить в разное время в другой системе.

Если в системе S события имеют координаты x1, x2 и одновременные моменты t1 = t2, то в системе S′ разность времён определяется как:

$$ \Delta t' = \gamma \left(\Delta t - \frac{v \Delta x}{c^2}\right) = - \gamma \frac{v \Delta x}{c^2}. $$

Это означает, что временной порядок событий может изменяться для разных наблюдателей, движущихся относительно друг друга, если события пространственно разделены.

Замедление времени и сокращение длины

Замедление времени: для движущегося часов наблюдатель в покоящейся системе видит увеличение интервала времени между событиями:

Δt = γΔt0,

где Δt0 — собственное время (интервал в системе, где часы покоятся). Это экспериментально подтверждается в опытах с быстрыми элементарными частицами и атомными часами на бортах летящих самолётов.

Сокращение длины: длина тела, движущегося с постоянной скоростью v, измеряемая в системе покоя наблюдателя, уменьшается:

$$ L = \frac{L_0}{\gamma}, $$

где L0 — собственная длина. Сокращение наблюдается только вдоль направления движения, перпендикулярные размеры остаются неизменными.

Четырехмерное пространство-время

Чтобы упростить формулировку СТО и объединить пространство и время, вводят четырёхмерное пространство-время Минковского с координатами (ct, x, y, z). Здесь:

  • ct рассматривается как временная координата, умноженная на скорость света для единообразия размерностей.
  • Геометрия пространства-времени задаётся инвариантным интервалом:

s2 = c2t2 − x2 − y2 − z2.

Этот интервал остаётся неизменным при преобразованиях Лоренца, что является аналогом сохранения расстояния в евклидовом пространстве для Галилеевых преобразований.

Особенности интервала:

  • s2 > 0 — временной интервал (события причинно связаны, возможна передача сигнала со скоростью < c).
  • s2 = 0 — световой интервал (события связаны световым сигналом).
  • s2 < 0 — пространственный интервал (невозможна причинная связь).

Лоренцевы преобразования в четырёхмерной форме

Используя 4-векторы, преобразования Лоренца можно записать компактно:

X′μ = Λ νμXν,

где Xμ = (ct, x, y, z), а Λ νμ — матрица Лоренца. Для движения вдоль оси x матрица принимает вид:

$$ \Lambda = \begin{pmatrix} \gamma & -\beta \gamma & 0 & 0 \\ -\beta \gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \beta = \frac{v}{c}. $$

Преимущества 4-мерного подхода:

  • Чётко различается временная и пространственная компоненты.
  • Инвариантность интервала делает формулировку законов физики одинаковой для всех инерциальных наблюдателей.
  • Позволяет обобщить СТО на электромагнитные и механические процессы в единой формализованной системе.

Связь с физическими законами

Использование преобразований Лоренца и 4-векторов обеспечивает:

  • Корректное преобразование скоростей и импульсов:

$$ u'_x = \frac{u_x - v}{1 - \frac{vu_x}{c^2}}, \quad u'_y = \frac{u_y}{\gamma \left(1 - \frac{vu_x}{c^2}\right)}, \quad u'_z = \frac{u_z}{\gamma \left(1 - \frac{vu_x}{c^2}\right)}. $$

  • Сохранение энергии и импульса в любой инерциальной системе через 4-импульс Pμ = (E/c, p⃗).
  • Обоснование предельной скорости передачи сигналов, равной скорости света c, что согласуется с экспериментами и фундаментальными законами природы.
Оглавление