Уравнения Эйнштейна и кривизна пространства-времени

Уравнения Эйнштейна в общей теории относительности (ОТО) описывают фундаментальную взаимосвязь между кривизной пространства-времени и распределением энергии и импульса в нём. Их математическая форма выражается как:

$$ G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} $$

где:

G_μν — тензор Эйнштейна, отражающий кривизну пространства-времени,
Λ — космологическая постоянная,
g_μν — метрический тензор, определяющий геометрию пространства-времени,
G — гравитационная постоянная,
c — скорость света в вакууме,
T_μν — тензор энергии-импульса, описывающий распределение материи и энергии.

Ключевым моментом является то, что гравитация в ОТО больше не воспринимается как сила в привычном смысле Ньютона, а как проявление геометрии самого пространства-времени.

Тензор Эйнштейна и его физический смысл

Тензор Эйнштейна G_μν определяется через тензор Римана R_σμν^ρ и тензор Риччи R_μν:

$$ G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu} $$

где R = g^μνR_μν — скалярная кривизна.

Тензор Римана характеризует локальную кривизну пространства-времени и описывает, как вектор изменяется при параллельном переносе по кривой.
Тензор Риччи представляет собой сокращение тензора Римана и связывает локальную кривизну с распределением материи.
Тензор Эйнштейна объединяет эти свойства таким образом, чтобы соблюдалось сохранение энергии и импульса: ∇_μG^μν = 0.

Таким образом, G_μν выражает геометрическую часть уравнений Эйнштейна, а T_μν — физическую.

Метрический тензор и геометрия пространства-времени

Метрический тензор g_μν задаёт интервал между событиями:

ds² = g_μνdx^μdx^ν

Интервал ds² разделяет события на три категории:

Временные (ds² < 0) — события могут быть причинно связаны,
Светоподобные (ds² = 0) — события соединены световым сигналом,
Пространственные (ds² > 0) — события не могут влиять друг на друга.

Метрический тензор полностью определяет кривизну пространства-времени и его топологические свойства.

Космологическая постоянная

Космологическая постоянная Λ была введена Эйнштейном для описания статической вселенной. Современное понимание связывает её с тёмной энергией, вызывающей ускоренное расширение Вселенной. В уравнениях Эйнштейна она действует как источник отрицательного давления, влияя на динамику метрики на больших масштабах.

Тензор энергии-импульса

Тензор энергии-импульса T_μν описывает плотность и поток энергии и импульса:

$$ T_{\mu\nu} = \begin{bmatrix} \rho c^2 & -S_x & -S_y & -S_z \\ -S_x & \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ -S_y & \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ -S_z & \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{bmatrix} $$

где:

ρc² — энергия на единицу объёма,
S_i — плотность потока энергии (импульс),
σ_ij — компоненты напряжений и давления.

Тензор энергии-импульса учитывает любые формы материи и энергии: газ, электромагнитные поля, поля тёмной энергии.

Кривизна пространства-времени и наблюдаемые эффекты

Кривизна пространства-времени проявляется в виде следующих явлений:

Гравитационное искривление света — отклонение траектории фотонов вблизи массивных объектов.
Замедление времени в гравитационном поле — часы у массивного объекта идут медленнее относительно удалённого наблюдателя.
Гравитационные волны — возмущения кривизны, распространяющиеся со скоростью света, зафиксированные детекторами LIGO и Virgo.

Для слабых гравитационных полей уравнения Эйнштейна сводятся к приближению Ньютона:

∇²ϕ = 4πGρ

где ϕ — гравитационный потенциал. Это демонстрирует согласованность ОТО с классической механикой.

Решения уравнений Эйнштейна

Существуют известные решения уравнений Эйнштейна для различных симметрий:

Метрика Шварцшильда — описывает пространство-время вокруг статической сферической массы, даёт предсказание горизонта событий чёрной дыры.
Метрика Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера (ФЛRW) — описывает однородную и изотропную вселенную, лежащую в основе современной космологии.
Метрика Керра — описывает вращающиеся чёрные дыры и сложные эффекты кривизны, включая эргосферу.

Каждое из решений иллюстрирует, как распределение энергии определяет геометрию и динамику пространства-времени.