Время как параметр в уравнении Шредингера

Основы формализма

В квантовой механике ключевым объектом исследования является волновая функция Ψ(r, t), которая описывает состояние системы. Уравнение Шредингера связывает эволюцию этой функции с энергией и потенциальной средой. Время в данном контексте выступает как параметр, а не как оператор наблюдаемой величины. Это фундаментальная особенность стандартной квантовой механики, отличающая её, например, от классической механики, где время также параметрично, но часто воспринимается как универсальный фон для динамики.

Уравнение Шредингера для одной частицы в потенциальном поле V(r, t) имеет вид:

$$ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r}, t) = \hat{H} \Psi(\mathbf{r}, t), $$

где $\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\mathbf{r}, t)$ — гамильтониан системы, ℏ — редуцированная постоянная Планка. В этом уравнении время t входит линейно, что обеспечивает возможность решения уравнения через операторы эволюции.

Параметрическая роль времени

В отличие от координат и импульсов, которые в квантовой механике представлены операторами $\hat{\mathbf{r}}$ и $\hat{\mathbf{p}}$, время в уравнении Шредингера не имеет собственного оператора. Оно задаёт параметр, относительно которого происходит изменение состояния системы, что проявляется в:

1. Единообразной эволюции: Для заданного гамильтониана Ĥ состояние в момент t определяется полностью состоянием в начальный момент t₀ через оператор эволюции Û(t, t₀):

$$ \Psi(\mathbf{r}, t) = \hat{U}(t, t_0) \Psi(\mathbf{r}, t_0), \quad \hat{U}(t, t_0) = \exp\left(-\frac{i}{\hbar} \hat{H} (t - t_0)\right). $$

2. Отсутствие обратного квантования времени: Поскольку время не является квантовой переменной, невозможно создать аналогичное отношение неопределённости ΔtΔĤ ≥ ℏ/2 строго в виде операторной формулы. Однако на практике используется концепция энергетической ширины состояния и «времени жизни» уровня.

Разделение переменных и стационарные состояния

Если гамильтониан не зависит от времени (∂Ĥ/∂t = 0), решение уравнения Шредингера допускает разделение переменных:

Ψ(r, t) = ψ(r)e^−iEt/ℏ,

где ψ(r) — собственная функция гамильтониана, а E — собственное значение энергии. Это приводит к стационарному уравнению Шредингера:

Ĥψ(r) = Eψ(r).

В этом случае время проявляется исключительно через фазовый множитель e^−iEt/ℏ, что подчёркивает его роль как параметра, задающего эволюцию фазы, но не влияющего на вероятность нахождения частицы в пространстве:

|Ψ(r, t)|² = |ψ(r)|².

Временные зависимости и нестационарные состояния

Если гамильтониан зависит от времени, разделение переменных невозможно, и волновая функция описывается суперпозицией стационарных состояний:

Ψ(r, t) = ∑_nc_n(t)ψ_n(r)e^−iE_nt/ℏ,

где коэффициенты c_n(t) подчиняются дифференциальным уравнениям, зависящим от внешнего воздействия V(r, t). Временная зависимость здесь непосредственно связана с процессами переходов между состояниями, квантовой интерференцией и динамикой наблюдаемых величин.

Время и измерения энергии

Параметрическая природа времени проявляется также в соотношениях типа:

ΔE Δt ≳ ℏ,

где Δt интерпретируется как характерное время, за которое наблюдаемая величина изменяется заметно. Это не строгое отношение неопределённостей, так как t не является оператором, но оно имеет физический смысл для оценки временной шкалы динамики квантовой системы, например, при распаде возбужденного состояния или туннелировании.

Операторное формализм и попытки квантования времени

В истории квантовой механики предпринимались попытки ввести оператор времени t̂, сопряжённый с гамильтонианом, аналогично координате и импульсу. Однако стандартный анализ Паули показал невозможность существования самосопряжённого оператора времени для гамильтонианов с нижней границей спектра энергии. Это подчеркивает фундаментальную асимметрию между временем и пространством в традиционной квантовой механике.

Практическое применение

1. Эволюция волновых пакетов: Параметр времени позволяет отслеживать движение и рассеяние волновых пакетов, расчет вероятностей переходов и формирование интерференционных структур.
2. Временные корреляции: Функции корреляции, такие как C(t) = ⟨Ψ(0)|Ψ(t)⟩, описывают временную связанность квантовой системы.
3. Квантовая динамика при внешнем воздействии: При взаимодействии с переменными во времени полями, лазерами или колебательными потенциалами, временной параметр становится ключевым инструментом для расчёта переходных амплитуд и вероятностей.

Ключевые моменты

• Время в уравнении Шредингера — параметр, а не оператор.
• Параметрическое время обеспечивает линейную эволюцию волновой функции через оператор Û(t, t₀).
• В стационарных состояниях временной фактор влияет только на фазу, а вероятностная плотность остаётся постоянной.
• Для гамильтонианов, зависящих от времени, параметр времени напрямую участвует в динамике системы и переходах между состояниями.
• Попытки квантовать время сталкиваются с фундаментальными ограничениями, связанными с нижней границей энергии.

В результате, параметрическая роль времени в квантовой механике формирует основу для описания динамики систем, позволяя четко разграничивать статическую характеристику состояния (энергетические уровни) и его эволюцию во времени.