Замкнутые времениподобные кривые (ЗВК) представляют собой геометрические объекты в пространстве-времени, траектории которых возвращаются в исходную точку не только по координатам, но и по времени. Они впервые возникли как следствие решений уравнений общей теории относительности (ОТО), демонстрирующих, что при определённых условиях метрика пространства-времени может допускать петли во временном измерении. Такие кривые вызывают фундаментальные вопросы о причинности, природе времени и возможности временных парадоксов.
Ключевым аспектом ЗВК является то, что движение вдоль них приводит объект в ту же точку событий, из которой оно началось. Это принципиально отличается от обычного движения в пространстве-времени, где линии мира непрерывны и не пересекают сами себя в будущем.
Для возникновения ЗВК необходима специфическая структура метрики. Рассмотрим метрику общего вида:
ds2 = gμνdxμdxν,
где gμν — компоненты метрики, dxμ — дифференциалы координат. Чтобы траектория xμ(λ) была замкнутой во времени, должно выполняться условие:
xμ(λ0) = xμ(λ1), t(λ0) = t(λ1),
где t — временная координата, а λ — параметр вдоль кривой.
Наиболее известные метрики, допускающие ЗВК, включают:
Наиболее известное следствие ЗВК — возможность парадоксов причинности, когда событие может стать причиной самого себя. Классические примеры включают “парадокс дедушки”, где путешественник во времени может повлиять на события, которые сделают невозможным его собственное существование.
В рамках теории Эйнштейна для обычной материи ЗВК приводят к конфликтам с принципом локальной причинности. Существуют гипотезы, что квантовые эффекты или гипотеза Хокинга о “защите хронологии” предотвращают формирование ЗВК в реальной вселенной.
Для поддержания ЗВК чаще всего требуется экзотическая материя с отрицательной энергией, нарушающая обычные энергетические условия. Это делает реальные реализации замкнутых временных кривых чрезвычайно труднодостижимыми, хотя в теоретических моделях они остаются допустимыми.
Если ЗВК возможны, они ставят под сомнение стандартные законы термодинамики. В частности, второй закон термодинамики, утверждающий рост энтропии с течением времени, может быть нарушен вдоль замкнутой кривой, так как система может вернуться в своё исходное состояние с меньшей энтропией.
Рассмотрим пример метрики Гёделя:
$$ ds^2 = a^2 \left[ -(dt + e^x dz)^2 + dx^2 + \frac{1}{2} e^{2x} dz^2 + dy^2 \right], $$
где a — постоянная масштаба, x, y, z, t — координаты. Анализ показывает, что для определённых значений x и z траектории с постоянными x, y и периодическим z становятся замкнутыми во времени.
Классические геодезические уравнения для ZВК имеют вид:
$$ \frac{d^2 x^\mu}{d\lambda^2} + \Gamma^\mu_{\nu\sigma} \frac{dx^\nu}{d\lambda} \frac{dx^\sigma}{d\lambda} = 0, $$
где Γνσμ — символы Кристоффеля. Решения этих уравнений позволяют определить, какие траектории в данной метрике замыкаются во времени.
В квантовой теории поля замкнутые кривые вызывают особые эффекты вакуума. Квантовые флуктуации энергии вдоль таких кривых могут резко возрастать, что делает классические модели нестабильными. Это проявляется, например, в расчётах энергии Ваккума, где эффекты типа «петли во времени» создают бесконечные значения без адекватной регуляризации.
Хотя замкнутые времениподобные кривые остаются преимущественно теоретическим понятием, изучение их свойств важно для:
Современные подходы включают численное моделирование метрик с локальными ЗВК, анализ влияния квантовых эффектов на стабильность кривых и изучение глобальной топологии вселенной, которая может позволять или запрещать подобные структуры.