Асимптотическая свобода

Асимптотическая свобода в квантовой хромодинамике

Асимптотическая свобода — одно из фундаментальных свойств сильного взаимодействия, заключающееся в том, что константа связи между кварками и глюонами убывает при увеличении энергии взаимодействия или, эквивалентно, при уменьшении расстояния между частицами. Это явление было предсказано в начале 1970-х годов и стало краеугольным камнем квантовой хромодинамики (КХД), лежащей в основе Стандартной модели.

Сильное взаимодействие описывается неабелевой калибровочной теорией Янга-Миллса с группой симметрии SU(3). В отличие от квантовой электродинамики, где фотон не несёт электрического заряда, глюоны, передатчики сильного взаимодействия, сами несут цветовой заряд. Это приводит к их самодействию, что и определяет принципиально иную ренормализационную структуру теории.

Бета-функция и бег константы связи

Ключ к пониманию асимптотической свободы лежит в изучении бета-функции теории — функции, определяющей зависимость константы связи α_s от масштабного параметра μ, введённого при ренормализации:

$$ \beta(\alpha_s) = \mu \frac{d\alpha_s}{d\mu} $$

Для КХД бета-функция на одно-петлевом уровне имеет вид:

$$ \beta(\alpha_s) = -\beta_0 \frac{\alpha_s^2}{2\pi} + \mathcal{O}(\alpha_s^3) $$

где коэффициент β₀ определяется как:

$$ \beta_0 = 11 - \frac{2}{3}n_f $$

Здесь n_f — число ароматов кварков, эффективно участвующих в взаимодействии на данном масштабе энергии. При n_f < 16.5 (а в Стандартной модели максимум n_f = 6) коэффициент β₀ > 0, и, следовательно, β(α_s) < 0. Это и есть асимптотическая свобода: константа связи убывает при росте масштаба μ, или, другими словами, при уменьшении расстояний.

Решение уравнения бета-функции

На одно-петлевом уровне, решение уравнения для α_s(μ) даёт:

$$ \alpha_s(\mu) = \frac{2\pi}{\beta_0 \ln(\mu^2/\Lambda_{\text{QCD}}^2)} $$

где Λ_QCD — характерный масштаб КХД, порядка сотен МэВ. Он не задаётся теорией напрямую, а определяется из эксперимента. При μ ≫ Λ_QCD константа α_s становится малой, и взаимодействие кварков слабеет — они ведут себя как почти свободные частицы.

Микроскопия взаимодействия: поведение на разных масштабах

На малых расстояниях (или больших энергиях) кварки взаимодействуют слабо. Это позволяет применять методы пертурбативной теории поля — развитие по малому параметру α_s. Именно благодаря асимптотической свободе стали возможны точные расчёты сечения процессов, таких как:

рассеяние в глубоконеупругом взаимодействии (DIS),
процессы на коллайдерах с участием джетов,
распады тяжёлых кварков.

Наоборот, при больших расстояниях (малым энергиях) α_s возрастает, и взаимодействие становится сильно нелинейным. Это приводит к явлению конфайнмента, когда кварки не могут существовать в изолированном состоянии.

Историческая значимость и открытие

В 1973 году Дэвид Гросс, Франк Вильчек и Хью Д. Политцер независимо друг от друга показали, что неабелевы калибровочные теории могут обладать асимптотической свободой. За это открытие они были удостоены Нобелевской премии по физике в 2004 году. Это стало первой убедительной демонстрацией того, что КХД — правильная теория сильного взаимодействия.

Эмпирическое подтверждение

Асимптотическая свобода — не только теоретическое построение, но и подтверждённый феномен. Экспериментальные данные, например, из рассеяния глубоко-неупругих процессов (SLAC, HERA), а также измерения характеристик джетов на ускорителях (LEP, LHC), демонстрируют чёткое согласие с предсказаниями КХД:

измерения α_s(Q²) показывают, что она убывает с ростом Q²,
спектры распада адронов и фоновая структура джетов соответствуют пертурбативным расчётам.

Высшие порядки и прецизионные расчёты

Учет двух- и трёх-петлевых поправок к бета-функции даёт более точное описание бега α_s. Бета-функция в двух-петлевом приближении:

$$ \beta(\alpha_s) = -\beta_0 \frac{\alpha_s^2}{2\pi} - \beta_1 \frac{\alpha_s^3}{(2\pi)^2} + \ldots $$

где:

$$ \beta_1 = 102 - \frac{38}{3}n_f $$

Наличие отрицательных знаков у старших коэффициентов указывает, что асимптотическая свобода сохраняется при включении более высоких порядков, однако логарифмическое поведение несколько модифицируется.

На практике используется масштабная инвариантность и ренормализационная группа для перевода результатов между разными шкалами, особенно при стыковке экспериментальных данных, полученных при разных энергиях.

Асимптотическая свобода и структура адронов

Понимание асимптотической свободы позволило объяснить:

Феномен скейлинга в рассеянии: на высоких энергиях структура функции распределения кварков в нуклоне становится почти независимой от Q², что соответствует квазисвободному поведению.
Рождение джетов: при столкновениях на больших энергиях продукты распада кварков не разлетаются изолированно, но формируют коллинеарные струи адронов — джеты. Структура джетов и их угловые распределения предсказуемы благодаря слабому взаимодействию на этих масштабах.

Связь с другими теориями и физическими принципами

Асимптотическая свобода — ключевое различие между абелевыми и неабелевыми теориями. Квантовая электродинамика (QED), описываемая группой U(1), не обладает асимптотической свободой: её бета-функция положительна, и α увеличивается с энергией. Это приводит к известной проблеме ландо-полюса при очень высоких энергиях.

Таким образом, асимптотическая свобода делает КХД фундаментально более устойчивой теорией при переходе к ультрафиолетовому пределу. Именно это свойство даёт возможность построения непротиворечивой ренормализуемой теории сильного взаимодействия на всех масштабах.

Конфинемент и комплементарность

Хотя асимптотическая свобода описывает поведение теории при высоких энергиях, её противоположность — инфракрасная сверхсила — ответственна за конфайнмент на больших расстояниях. Это двойственное поведение порождает уникальную структуру КХД, в которой кварки «свободны» внутри адронов (при высоких энергиях), но никогда не наблюдаются вне их (при низких).

Существует мнение, что асимптотическая свобода и конфайнмент — две стороны одного явления, вытекающие из нелинейной структуры неабелевой калибровочной теории. Однако строгого аналитического доказательства конфайнмента на данный момент не получено, несмотря на наличие численных подтверждений из вычислений на решётке (Lattice QCD).

Роль в феноменологии и теоретической физике

Асимптотическая свобода лежит в основе всех успешных предсказаний КХД:

расчёт ширины распада Z-бозона с точностью до процентов,
анализ столкновений на Большом адронном коллайдере,
интерпретация распределения глюонов и кварков в протонах,
построение теорий Великого объединения, где сходимость констант взаимодействий при высоких энергиях требует асимптотически свободной структуры.

Вне рамок КХД, асимптотическая свобода стала шаблоном для построения других неабелевых теорий, включая возможные расширения Стандартной модели и суперсимметрические теории.

Ключевой физический смысл асимптотической свободы состоит в том, что кварки ведут себя как квазисвободные частицы при малых расстояниях, но становятся всё более сильно связанными на больших масштабах, формируя ограниченные состояния — адроны. Это глубоко отражает структуру материи и объясняет, почему мы не наблюдаем элементарные кварки, несмотря на их фундаментальный статус в Стандартной модели.